Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Emelt szintű matek érettségi

Kategóriák
  • Valószínűségszámítás (15,3 pont)
  • Térgeometria (12,5 pont)
  • Kombinatorika (11,9 pont)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
  • Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
  • Statisztika (7,3 pont)
  • Az integrálás (7,1 pont)
  • Szöveges feladatok (6,1 pont)
  • Koordinátageometria (5,1 pont)
  • Gráfok (4,8 pont)
  • ***Vegyes emelt szintű feladatok***
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
  • Síkgeometria (4,1 pont)
  • Számelmélet (3,9 pont)
  • Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
  • Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
  • Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
  • A várható érték (2,6 pont)
  • Függvények ábrázolása (2,5 pont)
  • Deriválás (1,9 pont)
  • Függvények érintője
  • Trigonometria
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága
  • Sorozatok határértéke
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • A teljes indukció
  • Egybevágósági transzformációk
  • Egyenletrendszerek
  • Egyenlőtlenségek
  • Összetett függvény, inverz függvény
  • Valószínűségszámítás
  • Elsőfokú függvények
  • Feladatok függvényekkel
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Halmazok
  • Másodfokú egyenletek
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Vektorok

Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Érettségik
  • Képletek
01
 
Mi az a logaritmus?
02
 
Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel
03
 
Logaritmusos egyenletek megoldása
04
 
Újabb logaritmusos egyenletek megoldása
05
 
Logaritmusos egyenlőtlenségek
06
 
FELADAT
07
 
FELADAT
08
 
FELADAT
09
 
FELADAT
10
 
FELADAT
11
 
FELADAT
12
 
FELADAT
13
 
FELADAT
14
 
FELADAT

Szerezd meg a hiányzó tudást

2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

Logaritmus

$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Logaritmus azonosságok

\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)

\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)

\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)

\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)

\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Logaritmikus egyenlet megoldása

A logaritmikus egyenletek megoldásának lényege, hogy ilyen alakra jussunk:

\( log_{a}{x} = b \)

Mert innen a logaritmus definíciója miatt az következik, hogy

\( x = a^b \)

Ahhoz, hogy a bonyolúltabb egyenleteket is ilyen alakra hozzuk, a logaritmus azonosságait használjuk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)

b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)

c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)

d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)

e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)

f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt, hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

b) Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

c) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?

A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)

d) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)}  = 4 \)

b) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)}  = \log_{2}{5} \)

c) \( \log_{2}{(x+11)} - \log_{2}{(x-2)}  = 3 + \log_{2}{5} \)

d) \( \log_{3}^2{x} - 7\cdot \log_{3}{x}  +12 = 0 \)

e) \( \log_{5}{ \frac{x}{25} } + \log_{5}^2{x} = 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)}  +2 \)

b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)

c) \( \lg{ (x-2) } + \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenlőtlenségeket.

a) \( \log_{\sqrt{5}}{(x+4)} - \log_{\sqrt{5}}{12} \geq \log_{\sqrt{5}}{x-1)} \)

b) \( \log_2{(x-5)}-\log_2{(x+4)} \geq 3 \)

c) \( \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{\left( x^2 + 16 \right) } \leq \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{ \left( 9x-4 \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x \ln{x} - 3x = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \ln^2{x} + \ln{x} - 2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+3)^x } = 4x \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mi az a logaritmus?

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.


Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.

Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.

Valahogy így…

Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.

Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.

Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…

Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.

De így is kijön.

Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…

Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.

64,625 perc

Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

Kezdetben van valamennyi baktérium.

Aztán megduplázódik…

aztán megint megduplázódik.

És így tovább.

A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:

Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.

Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.

Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.

És most nézzük, hogyan tovább.

Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.

Vagyis egy generációs idő hossza…

25,24 perc.

A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

Lássuk, mi történik 40 év alatt:

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.

Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.

Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Itt jön a mi kis képletünk:

30 év alatt 12%-kal csökkent:

Na, ez így sajna nem túl jó…

Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.

A felezési idő tehát 162,7 év.

Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:

377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.

Hát, ennyi.


Logaritmusos egyenletek megoldása

Újabb logaritmusos egyenletek megoldása

Logaritmusos egyenlőtlenségek

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim