- Valószínűségszámítás (15,3 pont)
- Térgeometria (12,5 pont)
- Kombinatorika (11,9 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
- Statisztika (7,3 pont)
- Az integrálás (7,1 pont)
- Szöveges feladatok (6,1 pont)
- Koordinátageometria (5,1 pont)
- Gráfok (4,8 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Síkgeometria (4,1 pont)
- Számelmélet (3,9 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
- Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
- Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Függvények érintője
- Trigonometria
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Függvények határértéke és folytonossága
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Összetett függvény, inverz függvény
- Valószínűségszámítás
- Elsőfokú függvények
- Feladatok függvényekkel
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Halmazok
- Másodfokú egyenletek
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Vektorok
Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
Szerezd meg a hiányzó tudást
2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
Számtani sorozat
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.
A sorozat differenciája az a szám, amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a differenciát $d$-vel jelöljük.
A számtani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 + (n-1) d \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \)
Mértani sorozat
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, mértani sorozatnak nevezzük.
A sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.
A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)
Egy cég bevétele az első évben 100 millió dollár volt, és azóta minden évben 20 millió dollárral nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy cég bevétele az első évben 10 millió dollár volt, és azóta minden évben 20%-kal nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen?
b) Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha számtani sorozatról van szó, illetve ha mértani sorozatról van szó.
a) Egy okostelefonokat gyártó cég minden hónapban egyre több darabot tud eladni egy bizonyos típusú telefonból. A növekedés ütemét kétféle modellel közelíthetjük.
Az egyik modell szerint havonta átlagosan 5400-zal több telefont adnak el.
A másik modell szerint a havonta eladott telefonok száma átlagosan 1%-kal nő.
- Hány darab telefont adnak el decemberben az egyik és a másik modell szerint, ha januárban 542 661 darab telefont tudnak eladni ebből a típusból?
- Hány darab telefont adnak el egész évben összesen az egyik és a másik modell szerint?
b) Bob maraton-futásra készül, ahol a táv 42 195 méter. A siker érdekében 10 héten át minden héten futni megy. Első héten 3 kilométert fut, az utolsó héten pedig lefutja a 42 195 métert.
Mivel Bob rajong a sorozatokért, így azt találja ki, hogy a hetente lefutott távok egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek. Hetente hány kilométerrel többet fut Bob? Összesen hány kilométert fut a 10 hét alatt?
Hetente hány százalékkal többet fut Bob, ha a heti távok egy mértani sorozat egymást követő tagjai? Hány kilométert fut így a 10 hét alatt összesen?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_{10}$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 35. Ha a harmadik számot 5-tel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Mennyi lehet $n$ értéke, ha az első $n$ tag összege 5890-nél kisebb?
Egy számtani sorozat első 10 tagjának az összege feleakkora, mint a következő tíz tag összege. Az első 15 tag összege 375. Határozza meg a sorozat első tagját!
Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege. Mekkora a sorozat differenciája?
Egy mértani sorozat 12. tagja 36-tal nagyobb a 13.-nál. Ezen két tag szorzata 160. Mekkora a sorozat kvóciense?
Egy mértani sorozatról tudjuk, hogy az első tagja 3, az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?
Egy mértani sorozat első 4 tagjának az összege 105, az 5., 6., 7., és 8. tag összege 1680. Melyik ez a sorozat?
Egy mértani sorozat első három tagjának a szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három elemét kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-öt, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot!
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat kvóciensét!
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 36. Ezen tagokhoz rendre 16-ot, 12-öt, és 10-et adva egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot!
Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha a 2. számhoz 8-at adunk, egy számtani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Ha az így kapott sorozat 3. tagjához 64-et adunk, egy új mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Határozza meg az eredeti három számot!
Egy számtani sorozat első 3 tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő 3 tag összege. Az első 6 tag összege 60. Melyik ez a sorozat?
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 54-et, 39-et, 28-at, és 20-at adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat kvóciensét!
Egy számtani sorozat 2. tagja 7, e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Egy számtani sorozat második tagja 3. E sorozat első tíz tagjának összege harmad akkora, mint a következő tíz tag összege. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját!
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 20 ezer dollárral nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben? Nézzük meg egyesével az éves árbevételeket: A cég éves árbevételei egy sorozatot alkotnak. Egy olyan sorozatot, ahol minden tag pontosan 20-szal nagyobb az előző tagnál. Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatoknak nevezzük. A sorozat differenciája az a szám amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél. Ha tudjuk, hogy mennyi a sorozat első tagja és a differencia, akkor bármelyik tagot ki tudjuk számolni. A hatodik évben az árbevétel: Most próbáljuk meg kideríteni, hogy mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen. Nos, úgy néz ki 900 ezer dollár az árbevétel a hat év alatt összesen. A számtani sorozat első n darab tagjának összege:
Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet. A számtani sorozat: Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 2%-kal nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben? Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan q-szor annyi, mint az előző tag, mértani sorozatnak nevezzük. A hatodik évben az árbevétel: Ha megint kíváncsiak vagyunk rá, hogy mekkora volt az árbevétel a hat év alatt összesen, akkor most a mértani sorozat összegképletére lesz szükség. Íme a mértani sorozat összegképlete: Az első hat év összes árbevétele ez alapján: A mértani sorozat: Egy sorozatról tudjuk, hogy a8 = 2 és a7 = 162. Mennyi a10, ha a) számtani sorozatról van szó. b) mértani sorozatról van szó.
