- Mátrixok és vektorok
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Mátrix determinánsa, Cramer-szabály, adjungált
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Komplex számok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Sorozatok határértéke
- Monotonitás és korlátosság
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hospital szabály
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Sorok
- Többváltozós függvények, parciális deriválás, szélsőértékvizsgálat
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Rekurzív sorozatok
Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
Sorozat határértéke
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.
Konvergens sorozat definíciója
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy
$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra
Divergens sorozat
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.
Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ennek a sorozatnak a határértéke \(\frac{1}{7}\) és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{n+1}{7n+2} \)
a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ennek a sorozatnak a határértéke \(\frac{3}{2}\) és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+5} \)
b) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{4n^3+5}{n^3+4} \)
a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{4n^8+5}{n^8+4} \)
b) Igazoljuk, hogy ez a sorozat plusz végtelenbe tart, és adjuk meg az \(M=10^2\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\sqrt[4]{5\cdot n^3+6} \)
a) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)
b) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n =(-1)^n \cdot \sqrt[3]{\frac{n^4-5}{5\;000\;000-n^6}} \)
A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{n^8-5n^4-6}{2n^8+n} \to \frac{1}{2} \)
a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{n^5+3n^4+2n}{4n^5+12} \to \frac{1}{4} \)
b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt[3]{\frac{n^4+4n^3+n^2-5}{n^5+4}} \to 0 \)
c) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat divergens, és a határértéke végtelen. Adjunk meg minden \(M\)-hez \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{5n^8+7n^4-6n}{n^5+4n^3+5n+1}\)
a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt{n^4+4n}-\sqrt{n^4+3} \to 0 \)
b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt{\frac{9n^2+1}{n^2+n}} \to 3 \)
Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.
A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.
Az sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.
Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.
Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.
Íme itt is van.
A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.
De aggodalomra semmi ok. Az, hogy
mindössze ezt jelenti.
Vagyis azt, hogy közelebb van -hoz, mint .
Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha
Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha
Vagyis a hetedik tagtól és így .
Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
