- Mátrixok és vektorok
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Mátrix determinánsa, Cramer-szabály, adjungált
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Komplex számok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Sorozatok határértéke
- Monotonitás és korlátosság
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Sorok
- Többváltozós függvények, parciális deriválás, szélsőértékvizsgálat
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Rekurzív sorozatok
Többváltozós függvények, parciális deriválás, szélsőértékvizsgálat
Kétváltozós függvény
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint a sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x, y sík felett a függvény, ami egy felület.
Young-tétel
A Young-tétel szerint vegyes másodrendű deriváltak egyenlők (egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható):
\( f''_{xy} (x,y) = f''_{yx} (x,y) \)
Parciális deriválás a gyakorlatban
Az $ f(x,y) $ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_x (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $x$ szerint deriválunk, $y$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $x$-essel, akkor marad
Az $ f(x,y) $ függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_y (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $y$ szerint deriválunk, $x$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $y$-ossel, akkor marad
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai
Első lépés:
\( \frac{ \delta f}{\delta x} = f'_x (x,y) \qquad \frac{ \delta f}{ \delta y} = f'_y (x,y) \)
Második lépés:
\( f'_x (x,y)=0 \)
\( f'_y (x,y)=0 \)
Az egyenletrendszer megoldásai a stacionárius pontok
Harmadik lépés:
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} > 0$, akkor lokális minimum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} < 0$, akkor lokális maximum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ negatív, akkor nyeregpont van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Stacionárius pont kétváltozós függvényre
Az $f(x,y)$ függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla, az $f(x,y)$ függvény stacionárius pontjainak nevezzük.
Stacionárius pont többváltozós függvényre
Ha az $f$ többváltozós függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontban léteznek $f$ első parciális deriváltjai és
\( \delta_1 f(x_0)= \delta_2 f(x_0) = \dots = \delta_k f(x_0) = 0 \)
akkor $x_0$ az $f$ többváltozós függvény stacionárius pontja.
Hesse mátrix
A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Szintvonal
A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, azaz $f(x,y)=c$, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.
Az érintősík egyenlete
Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:
\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)
Gradiensvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
\( \underline{f}'(x_0,y_0)= \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \quad \text{röviden} \quad \underline{f}'=\begin{bmatrix} f'_x \\ f'_y \end{bmatrix} \)
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja az $(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{v} } = \underline{f}'(x_0, y_0) \cdot \underline{v} \)
(Itt $\underline{v}$ egységvektor)
Implicit függvény
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
Implicit függvény derivátlja
Ha $F(x,y)=0$ egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)
Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:
\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)
Deriváljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)
b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)
Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)
b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)
Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$
b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$
Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$
b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$
$f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.
Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$
b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$
a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!
b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?
Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.
Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)
Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!
\( f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 \)
Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!
\( f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 \)
Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!
Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?
Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?
Adjuk meg az $f(x,y)=2x \ln{ \left( x^2-xy^2-4 \right) }$ függvény totális deriváltját a $P(5,2)$ pontban.
Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!
\( f(x,y)=yx^5-2xy^3+4x-5 \)
Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!
\( f(x,y)=x^3-3xy^2-5y+e^{2x} \)
Számoljuk ki az $f(x,y)=\arctan{\left( y^x \right) }$ gradiensét a $P_0 (1,2)$ pontban.
Számoljuk ki az $f(x,y)=\sin{ \left( \ln{\left( y^x \right) } \right)}$ gradiensét a $P_0(3,1)$ pontban.
Számoljuk ki az $f(x,y)=\cos{ \ln{ \left( x^y \right)} }$ gradiensét a $P_0(7,1)$ pontban.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+20 \)
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy
harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához
hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,
kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-
örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan
tulajdonságok, amik nem.
Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről
ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.
A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.
Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,
míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.
Lássunk néhány kétváltozós függvényt.
LOKÁLIS MINIMUM
NYEREGPONT
LOKÁLIS MAXIUM
A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,
vagy éppen ilyen nyeregpontja.
Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,
itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,
ami kétszer olyan szórakoztató lesz.
Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
Lássuk a parciális deriváltakat.
PARCIÁLIS DERIVÁLTAK
Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans
x szerint deriválunk,
y most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami x-essel, akkor marad
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans
y szerint deriválunk,
x most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad
A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.
Íme.
Mindkét jelölést használni fogjuk.
Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.
ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK
MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK
Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.
Így négy darab második deriváltat kapunk.
Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,
a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.
A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.
Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.
De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.
Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Itt jön egy újabb izgalmas feltételes szélsőérték probléma.
unter der
Megint jön a Lagrange-függvény:
Aztán megoldjuk az egyenletrendszert:
Most csak egy stacionárius pont van.
Itt jönnek a második deriváltak.
Hát, ez pozitív definit, úgyhogy a jelek szerint feltételes minimum van a stacionárius pontban.
Most nézzünk meg erre egy másik megoldást is.
Ehhez nem kell Lagrange, egyszerűen behelyettesítjük szépen a feltételt az eredeti függvénybe.
Innentől ez egy sima egyváltozós függvény.
Ennek kell a minimuma.
Hát, deriváljuk.
Nem kell túl nagy zsenialitás, hogy a derivált előjelét megállapítsuk.
Úgy tűnik, a függvénynek x=6/10-ben minimuma van.
Már csak az y-t kell valahonnan előkeríteni.
Nézzünk meg még egyet.
unter der
És íme, a stacionárius pontok:
Ez itt egy feltételes minimum.
Ez pedig egy feltételes maximum.
Nekünk most csak a minimum kell.
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA
Az egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint
Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.
Implicit függvényt kapunk, ha a függvényt elrontjuk, mondjuk így:
sőt még gyököt is vonunk
Na ez egy implicit függvény.
Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.
mellesleg az is, hiszen .
Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.
A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:
És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.
Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott függvény deriváltjára van szükségünk.
Próbáljuk meg kifejezni -t
Nos íme itt van.
Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…
Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.
Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.
Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.
Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.
De itt van például ez.
Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.
Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.
Tehát például egy összetett függvény.
Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Külső függvény deriváltja,
szorozva a belső függvény deriváltjával.
Lássuk tehát az implicit deriválást.
Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:
Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:
Aztán kiemeljük -t.
és végül leosztunk:
Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.
Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.
A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.
Azt mondja, hogy ha egy implicit függvény, akkor deriváltja:
Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.
Itt volna az implicit függvény:
amit nullára kell rendezni,
és elkeresztelni F-nek.
Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.
Az és az közötti különbség ugyanis óriási.
Lássuk mi is a különbség!
tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám
nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.
Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.
Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.
Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.
És íme, itt az implicit derivált.
Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,
csak most így sokkal egyszerűbben.
Erre jó az implicit deriválási szabály.
A szabály több változó esetén is működik.
Ha egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
Ha egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az változó szerint:
Nézzünk erre egy példát!
Ez egy kétváltozós implicit függvény.
Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.
A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy
Z=valami x és y
Deriváljuk akkor most x és y szerint:
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
