Mátrixok és vektorok

Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

pl.: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 21 & -6 \\ 6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \)

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

pl.: \( \frac{\begin{pmatrix} 6 & 9 & -12 \\ 3 & 3 & 15 \end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 11 & 5 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix} \)

A mátrixok összeadása kommutatív, azaz

\( A + B = B + A \)

És asszociatív, azaz

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával.

Ha az A mátrix m x n-es a B mátrix pedig n x k-s, akkor az eredménymátrix m x k-s lesz.

Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

pl.: \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 32 & 33 \\ 7 & 29 & 22 \end{pmatrix} \)

Két mátrixot csak akkor adhatunk össze, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

A mátrix összeadás kommutatív:

\( A + B = B + A \)

És asszociatív:

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz:

\( A \cdot B \neq B \cdot A \)

De asszociatív, azaz:

\( ( A \cdot B ) \cdot C = A \cdot ( B \cdot C ) \)

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Az egységmátrix olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely $A$ mátrixra $A \cdot I = A$.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

pl.: \( I_{2 x 2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Az inverz mátrix jele $A^{-1}$ és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

$ A \cdot A^{-1} = I $ (jobb inverz)

$ A^{-1} \cdot A = I$ (bal inverz)

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése. Jele $A^T$ vagy $A^*$

pl.:

\(  A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow  A^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \)

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

pl.: \( A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 15 \end{pmatrix} \)

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Pl.: \(  \frac{ \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 15\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 5\end{pmatrix} \)

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a} + \underline{b} = \underline{b} + \underline{a} \)

asszociatív: \( ( \underline{a} + \underline{b} ) + \underline{c} = \underline{a} + ( \underline{b} + \underline{c} ) \)

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -8\end{pmatrix} \)

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = 3 \cdot 4 + 2\cdot 1 + 5\cdot 2 = 24 \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = \underline{b}^T \cdot \underline{a} \)

nem asszociatív: \( \left( \underline{a}^T \cdot \underline{b} \right)^T \cdot \underline{c} \neq \underline{a}^T \cdot \left( \underline{b}^T \cdot \underline{c} \right) \)

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a} \cdot \underline{b}^T = \begin{pmatrix} 12 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 4 \\ 20 & 5 & 10 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

nem kommutatív

nem asszociatív

Ha egy mátrixot beszorzunk az $\underline{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $ vektorral, akkor az szépen összeadja a mátrixunk soraiban lévő elemeket.

Ha egy mátrixot beszorzunk az $\underline{I}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{pmatrix} $ vektorral, akkor az szépen összeadja a mátrixunk oszlopaiban lévő elemeket.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.