Hatványozás, exponenciális egyenletek (0,8 pont)

Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy

de semmi ördögi nem lesz itt.

Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.

Hát nézzük meg.

Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor

a kitevők összeadódnak.

Ez lesz az első azonosság.

HATVÁNYAZONOSSÁGOK

Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.

De azért van itt egy apró kellemetlenség.

Már jön is.

Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.

Itt pedig a kitevő negatív lesz.

Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.

Nos így:

A kitevőket kell összeszoroznunk.

Itt van aztán ez, hogy

Na ez vajon mi lehet?

Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.

Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.

Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.

A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.

Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.

Ha van egy ilyen, hogy

nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.

Jön itt még néhány újabb képlet,

de most már lássuk a függvényeket.

Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.

Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.

Például egy ilyen szám a

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.

Ez a függvény tehát az ex.

Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.

Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.

Az exponenciális egyenletek megoldása:

Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.

Már jön is az első:

Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:

Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…

Lássuk csak,        bingo!

Na, ezzel megvolnánk.

Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.

Itt van aztán egy újabb ügy:

A két hatványalap nem ugyanaz…

de van remény.

És nézzük, mit tehetnénk ezzel:

Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.

A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:

Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.

Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:

De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…

Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:

Vagyis 60 perc telt el.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.

Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?

A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:

Íme, a képlet:

Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:

Ezt beírjuk a számológépbe…

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mi történik 100 év alatt.

Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:

Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.

Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.

Itt is jön az első:

Na, ezzel megvolnánk.

Itt van aztán ez:

Eddig jó…

Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.

Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.

Na, ezzel megvolnánk.

Nézzünk egy másikat.

Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.

Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.

Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.

Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:

Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.

És vannak egészen trükkös esetek is.

Nézzünk meg még egy ilyet.

Az exponenciális egyenletek megoldása:

Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.

Már jön is az első:

Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:

Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…

Lássuk csak,        bingo!

Na, ezzel megvolnánk.

Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.

Itt van aztán egy újabb ügy:

A két hatványalap nem ugyanaz…

de van remény.

És nézzük, mit tehetnénk ezzel:

Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.

A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:

Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.

Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:

De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…

Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:

Vagyis 60 perc telt el.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.

Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?

A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:

Íme, a képlet:

Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:

Ezt beírjuk a számológépbe…

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mi történik 100 év alatt.

Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:

Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.

Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.

Itt is jön az első:

Na, ezzel megvolnánk.

Itt van aztán ez:

Eddig jó…

Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.

Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.

Na, ezzel megvolnánk.

Nézzünk egy másikat.

Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.

Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.

Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.

Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:

Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.

És vannak egészen trükkös esetek is.

Nézzünk meg még egy ilyet.