- Függvények tulajdonságai és ábrázolása
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorok
- Sorozatok határértéke
- Sorozatok vizsgálata, monotonitás, küszöbindex
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Integrálás
- Határozott integrálás, területszámítás
- Kétváltozós függvények
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis
- Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
Differenciálhatóság, érintő egyenlete
Differenciahányados
A deriválás lényege, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig úgy, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Az érintő meredekségét pedig úgy kapjuk meg, hogy veszünk rengeteg szelőt, amelyek egyre jobban "rásimulnak" az érintőre, és így a szelők meredekségének a határértéke lesz az érintő meredeksége. A szelők meredekségét írja le a differenciahányados:
\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)
Differenciálhányados
A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:
\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)
Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának. Hogyha a derivált ebben a pontban pozitív, az azt jelenti, hogy pozitív meredekségű érintő húzható a függvényhez. Vagyis a függvény ebben a pontban növekszik. Ha pedig a derivált ebben a pontban negatív, akkor negatív meredekségű érintő húzható a függvényhez, és így a függvény csökken. A derivált tehát a függvény növekedési és csökkenési szakaszait képes nekünk megmutatni, és hatalmas szerepe van a függvények viselkedésének vizsgálatánál.
Események
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
Megkülönböztetünk elemi eseményeket, ilyen például, hogy egy dobókockával 1-est dobunk. Vannak azonban olyan események is amik több elemi eseményből épülnek fel, ilyen például az, hogy párosat dobunk.
Az eseményeket az ABC nagybetűivel jelöljük.
Valószínűség kiszámításának klasszikus modellje
A valószínűség kiszámításának klasszikus modelljét akkor alkalmazhatjuk, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van és ezek valószínűsége egyenlő. Ekkor az esemény valószínűségét úgy kaphatjuk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
Független események
Az $A$ és $B$ eseményt egymástól függetlennek nevezzük, ha teljesül rájuk, hogy
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Kizáró események
Az $A$ és $B$ eseményt kizárónak nevezünk, ha
\( A \cap B = \emptyset \)
Feltételes valószínűség
Az $A$ esemény valószínűsége, ha tudjuk, hogy a $B$ esemény biztosan bekövetkezik:
\( P(A \mid B) = \frac{ P(A \cap B) }{ P(B) } \)
Műveletek eseményekkel
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \)
\( P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) \)
\( P( \overline{A} ) = 1 - P(A) \)
Az érintő egyenlete
A derivált geometriai jelentése a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége.
Az érintő egyenlete:
\( f(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0) \)
Ciklikus permutáció
Ha kör alakban helyezünk el $n$ különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.
$n$ darab különböző elem ciklikus permutációinak száma $\frac{n!}{n} = (n-1)!$
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Mi lesz az \( f(x)=x^2+5x-7 \) függvények a deriváltja az \( x_0=2 \)-ben?
b) Mi lesz az \( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \) függvények a deriváltja az \( x_0=1 \)-ben?
c) Mi lesz az \( f(x)=-4x^2+5x \) függvények a deriváltja az \( x_0=-3 \)-ban?
Legyen az $A$ esemény, hogy páros számot dobunk, a $B$ esemény pedig, hogy 2-nél nagyobb számot dobunk dobókockával.
Adjuk meg az alábbi események valószínűségeit.
\( A, \; B, \; A\cup B, \; A\cap B, \; A\setminus B, \; \overline{A} \)
a) Legyen az A esemény, hogy egy dobókockával párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Függetlenek-e ezek az események? Kizáróak-e?
b) Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik. Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása, a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?
c) Egy másik biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen. Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} 9-x^2, &\text{ha } x<2 \\ 3x-1, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)
b) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = -3 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} x^4-4x^2, &\text{ha } x<-3 \\ \sqrt{x^2+16}, &\text{ha } x \geq -3 \end{cases} \)
c) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} 4x^2-7e^{x-2}-9, &\text{ha } x<2 \\ \ln{ \left( x^3-3x-1 \right)}, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)
a) Egy városban 1000 emberből átlag 350-en dohányoznak, 120-an rendelkeznek valamilyen keringési problémával és 400-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyik csoportba tartoznak. Ha egy lakosnak keringési problémái vannak, mekkora a valószínűsége, hogy dohányzik?
b) A reggeli és esti hírműsorok közül legalább az egyiket egy felmérés szerint a TV nézők 90%-a megnézi. Aki az esti hírműsort nézi 20% eséllyel már reggel is nézett hírműsort. A reggeli hírműsorokat az összes TV néző 30%-a nézi. Mi a valószínűsége, hogy ha valaki reggel néz hírműsort akkor este is?
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható az alábbi függvény az \( x_0 = 1 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} \sqrt[4]{\ln{x}+6x+10}, &\text{ha } x>1 \\ \frac{A}{x^2+4}, &\text{ha } x \geq 1 \end{cases} \)
b) Megadható-e az \( A \) és \( B \) paraméter úgy, hogy ez a függvény deriválható legyen az \( x_0 = -2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha } x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha } x > -2 \end{cases} \)
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2x^3+1 \) függvényt az \( y_0=55 \) pontban érinti.
b) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=x^2-x+4 \) függvényt egy olyan pontban érinti, aminek \( x \) koordinátája negatív, \( y \) koordinátája 24.
c) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, amely érinti az \( f(x)=x^4+5x+12 \) függvényt és párhuzamos az \( y=-27x+1 \) egyenessel.
d) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2e^{x-4}+5 \) függvényt az \( y_0=7 \) pontban érinti.
a) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász lesz?
b) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?
c) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?
d) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?
e) Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán. Mia valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?
a) Hányféleképpen ülehet le öt ember egy kerek asztal köré?
b) Az 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4 számjegyek sorrendjének variálásával 7 jegyű számokat készítünk. Hányféle ilyen szám van? Hány ilyen páros szám van?
c) A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával 4 jegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet akárhányszor felhasználhatunk. Hányféle ilyen szám van? Hány ilyen páros szám van? Hány ilyen 10-zel osztható szám van?
d) A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával 4 jegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet csak egyszer használhatunk. Hányféle ilyen szám van? Hány ilyen páros szám van? Hány ilyen 10-zel osztható szám van?
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\sqrt[3]{\ln{x}+x^2} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.
b) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\sin{(\ln{x})}+x \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.
c) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\ln{(\cos{x})}+e^{4x} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=0 \) pontban.
d) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\arctan{x}+e^x \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=0 \) pontban.
e) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\arctan{( \ln{x} )} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.
a) Tíztagú társaság raftingolni indul egy ötszemélyes egy háromszemélyes és egy kétszemélyes csónakkal. Hányféleképpen ülhetnek a csónakba, ha a csónakokon belül a helyek között nem teszünk különbséget? Mi a helyzet akkor, ha két adott ember egy csónakba akar kerülni?
b) A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek felhasználásával 4 jegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet csak egyszer használhatunk. Hány olyan szám keletkezik, amelyben két páros és két páratlan számjegy szerepel?
b) A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek felhasználásával 4 jegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet csak egyszer használhatunk. Hány olyan szám készíthető amiben szerepel a 9-es számjegy?
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 3 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?
\( f(x)=\left| x^2-6x \right| \)
b) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?
\( f(x)=x \cdot \left| x^2-6x \right| \)
Oldjuk meg az alábbi feladatokat:
a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) pontban?
\( f(x)=\left| x \right| \cdot \sin{x} \)
b) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható ez a függvény az \( x_0=0 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} e^{Ax^2-x}, &\text{ha } x<0 \\ \cos{(x^2+x)}, &\text{ha } x \geq 0 \end{cases} \)
Mely pontban, vagy pontokban párhuzamos egymással az $f(x)=(x-3)^2+7$ és a $g(x)=3\ln{x}$ függvények érintője?
Adjuk meg az $f(x)=(x+2)e^x$ függvény esetén az alábbiakat:
a) paritását
b) érintő egyenes egyenletét $x_0=-3$ helyen.
Van itt ez a függvény: $f(x)=2x \cdot \ln{x} $
És keressük az érintő egyenletét az $x_0 = \sqrt{e}$ pontban.
Van itt ez a függvény: $f(x)=(x-2)e^{2x-4}$
És adjuk meg az érintő egyenletét a függvény zérushelyén.
