- Lineáris egyenletrendszerek
- Mátrixok és vektorok
- A determináns
- Sorozatok
- Sorok összege és konvergenciája
- Függvényhatárérték és folytonosság
- Elemi függvények
- Komplex számok
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- L’Hôpital szabály
- Taylor polinom és Taylor sor
- Szélsőértékfeladatok, egyszerűbb függvényvizsgálatok
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrál, primitív függvény
- Határozott integrálás
Sorok összege és konvergenciája
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Mértani sor
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} \)
Ha $ \mid q \mid <1$ akkor a mértani sor konvergens és összege
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} = \frac{a_1}{1-q} \)
Ha $ \mid q \mid \geq 1 $ akkor a sor divergens.
Sor konvergenciája
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens és ekkor a sor összege:
\( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \lim{S_n} \)
Konvergencia kritériumok | Szükséges feltétel
Ha $\lim{a_n} \neq 0$ akkor $ \sum{a_n}$ divergens.
Konvergencia kritériumok | Leibniz-sorok
A $\sum{ (-1)^n} \cdot a_n$ sor konvergens, ha $a_n \rightarrow 0$ monoton csökkenő sorozat.
Konvergencia kritériumok | Gyök kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a gyök kritérium alapján így dönthető el:
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Konvergencia kritériumok | Hányados kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a hányados kritérium alapján így dönthető el:
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Leibniz sor
Ha $a_n \rightarrow 0$ pozitív tagú monoton csökkenő sorozat, akkor a
\( \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \)
végtelen sort Leibniz sornak nevezzük.
Konvergencia kritériumok | Az összehasonlító kritérium
Ha $\sum{a_n}$ és $\sum{b_n}$ nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól $a_n \leq b_n$ akkor
$\sum{b_n}$ konvergens $\Rightarrow \; \sum{a_n}$ is konvergens
$\sum{a_n}$ divergens $\Rightarrow \; \sum{b_n}$ is divergens
Nevezetes sor határérték
\( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\alpha}}} = \begin{cases} \text{konvergens, ha} \; \alpha >1 \\ \text{divergens, ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
teleszkopikus sorok
A teleszkopikus sorok olyan végtelennek tűnő összegek, amik megfelelő átalakítások után már csak véges sok tagból állnak.
Például:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =1 - \frac{1}{n+1} \)
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok?
a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
b) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
c) \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 5 \left( \frac{3}{4} \right)^n \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{-2} \right)^n $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(-2)^n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} 4 \frac{3^n}{(-2)^{2n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} 6\cdot \frac{5}{4^{n+1}} \cdot 3^{n-1} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n+4^n+5^n}{6^n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln{n}}{\sqrt{n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + \sqrt{n}}{ n^4-n^3+\sqrt[3]{n}} $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1) } $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2-1 } $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2+16n+15 } $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1)(n+2)} $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{ 2^n } $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \ln{ \left(1+\frac{1}{n} \right) } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sqrt[3]{n+1} }{\sqrt{n}+1} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^3+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin{n}}{n^2} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-2)^{n+1} }{n+5^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt[n]{10} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln{n}}{n-\ln{n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-100)^n}{n!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\ln{n}}{\ln{n^2}}\right)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\sin{1})^{2n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(\tan{1})^{2n}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2^n \cdot n! }{ 3^{n-1} \cdot n^{n+1} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan^2{n} }{n^2+1} \)
Adjuk meg a sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 9 \cdot 2^{2n-1}}{5^{n-1}} \)
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
