A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a gyök kritérium alapján így dönthető el:
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
