- Számológép trükkök és tippek az érettségire
- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram = sodrófadiagram = box plot
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Kombinatorika (14 pont)
- Valószínűségszámítás (13,5 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (9,3 pont)
- Térgeometria (9,3 pont)
- Koordinátageometria (8,7 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (7,8 pont)
- Szöveges feladatok (7,1 pont)
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (6,4 pont)
- Síkgeometria (5,9 pont)
- Integrálás (5,6 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Statisztika (5,5 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (2,7 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (2,6 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Számelmélet (2,5 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Gráfok (2,3 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Középpontos hasonlóság (1,4 pont)
- Halmazok
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Elsőfokú függvények
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Számrendszerek
- Százalékszámítás
- Másodfokú egyenletek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Feladatok függvényekkel
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Trigonometria, szinusztétel, koszinusztétel
- Vektorok
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Összetett függvény, inverz függvény
- Függvények határértéke és folytonossága
- Függvények érintője
Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (2,6 pont)
Szerezd meg a hiányzó tudást
2025 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2025 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2024 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2024 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2023 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2023 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2022 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2022 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2021 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2021 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2020 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2020 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2019 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2019 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2018 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2018 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2017 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2017 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2016 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2016 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2015 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2015 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcsEnnek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Egységkör
Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.
Trigonometriai összefüggések
\( \tan{x} = \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \)
\( \cot{x} = \frac{ \cos{x} }{ \sin{x} } \)
\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \quad \sin^2{\alpha} = 1-\cos^2{\alpha} \quad \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = \sin{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad \cos{\alpha} = \sin{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad \sin{\alpha} = \sin{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{\alpha} = \cos{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad -\sin{\alpha} = \cos{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad -\cos{\alpha} = \cos{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \quad \sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} \)
\( \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \quad \cos{(\alpha \pm \beta )} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
\( \sin^2{\alpha}=\frac{1-\cos{2 \alpha}}{2} \)
\( \cos^2{\alpha}=\frac{1+\cos{2 \alpha}}{2} \)
Koszinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $x$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög koszinuszának, és így jelöljük: $\cos{ \alpha}$.
Szinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $y$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög szinuszának, és így jelöljük: $\sin{ \alpha}$.
Tangens
Egy $\alpha$ szög tangense az $\alpha$ szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \quad k \in Z \)
Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása
A $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények periodikusak, ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat. Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben a periódus $2\pi$.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
$ \sin{x} = \frac{1}{2} $
akkor ennek a periodikussága miatt végtelen sok megoldása van, ezért írjuk oda a megoldások mögé, hogy $+2k\pi$.
További nehézség, hogy két megoldás is van, az egyiket a számológépünk adja, a másikat pedig...
Szinusz esetén úgy, hogy a két megoldás összegének $\pi$-nek kell lennie.
Koszinusz esetén pedig úgy, hogy a két megoldás mindig egymás minuszegyszerese.
Trigonometrikus függvények
Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!
0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)
b) \( \sin{3x} = -\frac{1}{2} \)
Oldjuk meg az alábbi két egyenletet a $[0,2\pi ]$ intervallumba eső számok halmazán
a) \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
b) \( 2\cos^2{x} - \cos{x} = 0\)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 2\cos^2{x} - 7 \cos{x} + 3 = 0 \)
b) \( 2\sin^2{x} + 4 \cos^2{x} - 3\cos{x} -1 = 0 \)
c) \( \sin{2x} + \cos{x} = 0 \)
d) \( \sin{2x} + \cos{2x} + \sin^2{x} = 0 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=2 \sin{x} \)
b) \( f(x)=\sin{(2x)} \)
c) \( f(x)=\cos{(3x)} \)
d) \( f(x)=2\cos{(3x)} \)
e) \( f(x)=\frac{5}{3} \cos{\frac{x}{2}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 2\sin{x}-1>0 \)
b) \( 2\cos{3x}-1<0 \)
c) \( \sin{2x}-\cos{x} \geq 0 \)
d) \( 4\cos^3{x}-3\cos{x} \leq 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \cos{x} + \sqrt{3} \cdot \sin{x} = 1 \)
b) \( 12 \sin{x} + 5 \cos{x} = 13 \)
Oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket.
a) \( 2\cos{x}+1=0 \)
b) \( 4\cos^2{x}=3 \)
c) \( 2\sin{x}=3\cos{x} \)
e) \( \cos{x}+\sin{x}=0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 2 \sin^2{x} - 5 \sin{x} -3 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 3 \cos^2{x} - 3 \cos{x} + \sin^2{x} = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \tan^2{x} - 3 \tan{x} + 2 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sin^2{x} - 4 \sin{x} \cos{x} + 3 \cos^2{x} = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( ( 2 \sin{x} - 1) ( \cos{x} - \sin{x} )= 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( ( 2 \cos{3x} -1)( \sin{2x} + \cos{2x}) = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 2 \cos{x} = 1 \qquad x \in [ -2 \pi, 0 ] \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 2\sin^2{x} - 5 \sin{x} +2 = 0 \qquad x \in [ -\pi, \pi ] \)
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.
Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.
Ráadásul van egy kék megoldás,
ezt adja a számológép, ez meg a periódus.
Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy
és van egy zöld.
Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.
A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,
és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,
hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.
Ezt nem árt megjegyezni.
Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.
Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,
ráadásul mindkettőből végtelen sok.
A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt
a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.
A kéket adja a számológép.
és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.
nos akkor meg is van a zöld.
A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.
Itt jön egy újabb remek történet.
A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,
a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.
Most pedig újabb állatfajták következnek.
Lássuk hogyan is néznek ezek ki.
Nos nem túl szépen.
Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.
A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.
Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.
A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,
amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.
Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.
Van ennek két mutáns változata is.
Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.
És itt jön még néhány.
