Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék

Egy bankban 3%-os éves kamatot adnak a pénzünkre. Beteszünk 1000 eurót a bankba 3%-os évenkénti kamattal. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva?

Itt van a 200 ezer, amit beteszünk a bankba.

És nézzük, mi lesz egy év múlva…

Hát reméljük, még meglesz a pénzünk…
Sőt, a bank még 4% kamatot is ad.
A kamat az eredeti pénzünknek a 4%-a…
 

 
Ezt a kamatot a bank hozzáadja az eredeti pénzünkhöz.

Az eredeti pénzt tőkének szokás nevezni.
A piros rész pedig a kamat.

Számoljuk is ki, hogy mennyi a kamat…
Ha egy év után kivennénk a pénzünket, akkor az eredeti 200 ezer forint mellé kapnánk 8 ezer forint kamatot.

A kamatos kamat lényege, hogy nem vesszük ki.
Futunk vele még egy kört, de most már ez az összeg fog kamatozódni.

Vagyis összeolvasztjuk az eredeti pénzünket és a kamatot…
Ezt egyébként kamat-tőkésítésnek hívják…

Most olyan, mintha ezt a pénzt tennénk be egy évre kamatozni.
Egy év múlva meglesz ez a pénz, plusz még a kamat, ami ennek a 4%-a…
Amit úgy kapunk meg, hogy ezt…
Megint beszorozzuk ezzel.

 
És aztán megint…
És megint…
Ez a kamatos kamat lényege.

Hanem azért, hogy megkapjuk a kamatos kamat képletét.

A kezdeti összeget, vagyis a tőkét T0-lal fogjuk jelölni.
 
Az éves kamatot pedig p-vel.

Egy év alatt  -ból   lesz.
Aztán T2…

És az ötödik év végére T5.
Az n-edik év végére pedig…

Ez a kamatos kamat képlete.

KAMATOS KAMAT KÉPLETE A T0 összegből n darab kamatperiódus után a következő Tn összeg lesz, ha minden periódusban p%-os a kamat:

Az eredeti feladatot ezzel a képlettel fél percen belül meg lehet oldani.
Csak behelyettesítünk a képletbe, és kész is.

 
A kamatos kamat ilyen egyszerű.

Nézzünk meg még egyet.

Egy lakás értéke minden évben 8%-kal növekszik. Mennyit fog érni egy 24 millió forintos lakás 3 év múlva?

Ez ugyanaz, mint a bankos történet, csak itt a 8% nem kamat…
De ugyanolyan, mintha kamat lenne, ennyivel növekszik a lakás értéke évente.

Így hát jön is a képlet:

A 24 millió forintos lakás 3 év múlva 30 millió 230 ezer forintot fog érni.

És a dolog fordítva is működik.

Egy lakás 42 millió forintot ér. Mennyit ért 3 évvel ezelőtt, ha évente 7%-kal nőtt az értéke?

A képlet most is ugyanaz:

 
Csak most visszafelé kell számolni.
Mert nem az a kérdés, hogy mi lesz 3 év múlva, hanem az, hogy mi volt 3 évvel ezelőtt.

Az n most is 3…

És a p most 7%...

De honnan fogja tudni a képlet, hogy most nem az a kérdés, hogy 3 év múlva, hanem az, hogy 3 évvel ezelőtt?

A T0 mindig a korábbi és a Tn mindig a későbbi állapot…

Egy autó újonnan 12 millió forintba kerül, és minden évben 16%-kal csökken az értéke. Mennyit fog érni 4 év múlva?

Ez a történet pont olyan, mintha betennénk a pénzünket a bankba, csak itt most negatív a kamat.

Igaz, van közben egy autónk, amit tudunk használni…

Egy év alatt az autó értéke 16%-kal csökken.
 

Aztán az autó megmaradt része ismét 16%-kal csökken…
És így tovább…

Amikor letelik a 4 év…
Már nem sok marad az autóból.

Így ránézésre kb. a fele…
Számoljuk is ki.

Itt jön a kamatos kamat képlete:

4 év múlva az autó kb. 6 milliót fog érni...
Egészen pontosan 5 millió 974 ezret.

Hát, így működik a negatív kamat.

Egy 25 millió forintos lakás értéke 3 éven keresztül minden évben 12%-kal nő, aztán két egymást követő évben is 4%-kal csökkent.  Mennyit ér a lakás 5 év múlva?

Készítsünk egy ábrát…

Az első évben 12%-kal nő a lakás értéke…
És a második évben is.
Sőt a harmadikban is.

De aztán elromlanak a dolgok…
 

Most pedig kezdjünk el számolni…

Nézzük először az első 3 évet:

Aztán jön a következő két év:
 

A lila időszakban ez lesz a T0…
A „kamat” pedig negatív…
És két év van.

Ennyit fog érni a lakás a három piros és a két lila év végére.

A kamatos kamat képletével ezt az egészet egyszerre is lazán ki tudjuk számolni.
 

A lakás értéke 5 év múlva 32 millió 369 ezer.

Most pedig egy szörnyű titok fog kiderülni a kamatos kamat képletéről…

Nézzük meg ezt a történetet egy bankról, ahol 5%-os éves kamatot adnak a pénzünkre, és beteszünk 2 millió forintot 4 évre.

Készítsünk hozzá egy rajzot.

Itt a szokásos számegyenes az évekkel…

Betesszük a 2 milliót a bankba…

Aztán egy év múlva hozzáadják az első 5%-os kamatot…
A második évben megint…
És így szépen eljutunk a negyedik év végére.

A kamatos kamat képlete pedig megmondja nekünk, hogy mennyi pénzünk lesz:
 
De a lényeg csak most jön.

A bank minden év végén adja hozzá a pénzünkhöz a kamatot.

És ezeket a részeket hívjuk kamatperiódusnak.
A periódusok hossza lényegében mindegy is.

Vagyis nem az a lényeg, hogy 4 év telt el…
Hanem az, hogy 4 darab periódus van.

Az, hogy milyen hosszúak, nem is érdekes.
Sőt, még az sem kell, hogy egyforma hosszúak legyenek.

Még a hosszuk sem kell, hogy egyforma legyen.

Egyedül az a lényeg, hogy mindegyik periódus végén ugyanakkora a kamat. 
Most éppen 5%.

Hogyha a bank nem évente, hanem havonta adna 5% kamatot a pénzünkre…
A végeredmény akkor is ugyanez lenne.

Csak már 4 hónap alatt összejönne.

Vagyis a kamatos kamat képletében n nem az évek száma…
És nem is a hónapok száma…
Hanem az, hogy hány kamatperiódus van.

Most, hogy ez a szörnyű titok kiderült, nézzünk meg egy feladatot.

Van 800 ezer forintunk, amit berakunk a bankba 5 évre. Az éves kamat minden évben 6%. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha  a) a kamatot mindig év végén írják jóvá (évenkénti tőkésítés)? b) a kamatot minden hónap végén írják jóvá (havi tőkésítés)?

És az izgalmak még csak most jönnek…

Éppen ott tartottunk, hogy kiderült, a kamatos kamat képletében az n nem az évek számát jelenti és nem is a hónapok számát.

Az n a kamatperiódusok száma.

Ha 5 évre betesszük a pénzünket a bankba éves periódusokkal, akkor n=5.
Hogyha viszont szintén 5 évre betesszük a pénzünket a bankba havi periódusokkal, akkor az n 12-szer annyi, vagyis 60.
 
Sőt az is lehet, hogy féléves periódusok vannak…
Vagyis évente két periódus, ami 5 év alatt 10 darab.

És még az is előfordulhat, hogy egy feladaton belül többféle periódus is szerepel.

Van 500 ezer forintunk, amit szeretnénk befektetni 6%-os éves kamatozás mellett. Két éven keresztül évente írják jóvá a kamatot, de aztán a következő 3 évben átállunk havi jóváírásra. Mennyi pénzünk lesz 5 év elteltével?

Készítsünk egy rajzot:

Az első évben az év végén írják jóvá a kamatot…

És a második évben is.

De a harmadik évben…

Ott már havi jóváírás van.

És innentől már végig.

Most pedig kezdjünk el számolni…

 
Egy autó értéke újonnan 11 millió forint. Az első két évben félévente csökken az értéke 7%-kal, majd utána évente 8%-kal.
Mennyit fog érni az autó 6,5 évesen?

Ez itt a szokásos számegyenes…
És ez pedig az autó, hátha ez is segít valamit a megoldásban.

Az autó értéke kezdetben t0, ezt még tudjuk.

És most lássuk a kamatot…

Az első két évben félévente 7%-kal csökkent az autó értéke…

Ez itt négy darab periódus.

Aztán évente csökkent 8%-kal…

És van itt még ez a fél év a végén…

 itt a végén fél év van.

Most pedig jöhet a kamatos kamat képlete.

Bármilyen százalékot lazán át tudunk írni tizedes törtre.
Csak elosztjuk 100-zal, és kész is.

Az autó 6,5 évesen 5 millió 659 ezer forintot fog érni.

Egy másik autó értéke az első másfél évben félévente 6%-kal csökkent, majd másfél évente 8%-kal. Mennyit ért újonnan, hogyha 7,5 évesen 6 milliót ér?

Úgy tűnik, hogy az autó újonnan 10 millió 84 ezer forintot ért.
 

Most pedig egy igazán klassz dolog következik,  amit úgy hívunk, hogy annuitás.

Az annuitás nem egy betegség, azt jelenti, hogy egyforma méretű pénzösszegek kifizetésének, vagy befizetésének sorozata.

Például fölveszünk T összegű hitelt egy évre, és ezt havonta rendszeresen a összeggel törlesztjük.

Olyankor, ha nincsen kamat, a képlet eléggé egyszerű.

Az első hónap végén kifizetjük az első törlesztő részletet.
Aztán a második hónapban a második részletet...

És a harmadik hónapban…
Őrület, ott kifizetjük a harmadik részletet.

Év végére pedig…
Elfogy a teljes hitel.

A hitelt 12 hónapon keresztül törlesztjük, és a havi részlet pedig:

De a helyzet csak akkor ilyen egyszerű, amikor nincsen kamat.

És kamat csak a mesékben nincsen…
Így hát itt az ideje felkészülni a kegyetlen valóságra.

Ez a képlet most csúnya lesz…
Csináljunk neki egy kis helyet…
Ha n hónapon keresztül törlesztünk, és a havi kamat p%-os, akkor a havi törlesztő részlet:
 

Húha, nézzünk erre egy példát…

Egy telefon 420 ezer forintba kerül és 24 havi részletre szeretnénk megvenni. Mekkorák lesznek a havi törlesztőrészletek, hogyha a THM 15%?

Kezdjük azzal, hogy mi az ördög az a THM…

A THM egy rövidítés, a teljes hiteldíj mutató rövidítése.
Azt jelenti, hogy minden kamatot és költséget beleértve mekkora az egy évre eső kamat.

És most lássuk a képletet.

Kezdjük azzal, hogy mennyi a q.
Behelyettesítjük a p helyére a kamatot…

És meg is van.

De van itt egy kis gond…
A képletben p nem az éves kamat, hanem az egy törlesztési periódusra eső kamat.

Most havi törlesztés van, vagyis p a havi kamat.

Úgy kapunk havi kamatot, hogy az éves kamatot 12-vel osztjuk.

A havi törlesztő 20 364 forint.

Hát, ez gyors volt.

Nézzünk meg még egyet…

Egy 36 millió forintos lakás megvásárlásához az egyik bank 6%THM hitelt biztosít 20% önrésszel és 10 éven át havi fix törlesztőrészletekkel és fix kamatozással.
Mekkorák a havi törlesztőrészletek?

A 20% önrész azt jelenti, hogy a 36 milliós árnak a 20%-át nekünk kell kifizetni, és a maradékot hitelből.

Önrész
Hitel
 

Vagyis ekkora a hitel.

És most lássuk a havi törlesztőt:
 

Mivel havonta fizetünk, a kamat is havi kamat lesz.

Az n most jó sok lesz.
10 év az 120 hónap…

A havi törlesztő 319 ezer 700 forint.
 

Az előbb ott hagytuk abba, hogyha fölveszünk egy T összegű hitelt…

És addig jutottunk, hogy ez nem valamilyen betegség, hanem azt jelenti, hogy egyforma méretű pénzösszegek kifizetésének, vagy befizetésének a sorozata.

Hogyha fölveszünk egy T összegű hitelt…
És azt n darab perióduson keresztül azonos méretű pénzösszegekben törlesztjük…

Azt úgy hívjuk, hogy törlesztőjáradék.

És egy nagyon csinos képletünk van rá…

Valahol itt.

A képletben T a felvett hitel…
Az n a törlesztő-periódusok száma…
És p% az egy periódusra eső kamat.

Ezt a képletet hitelek törlesztésének a kiszámolására használjuk.

De nem csak ezt hívjuk annuitásnak…
Hanem azt is, amikor minden hónapban ugyanakkora pénzeket fizetünk be, hogy egyre több pénz gyűljön össze.

Az első hónap elején befizetjük az első részletet…
Aztán a hónap végére hozzájön a kamat…

És ehhez még hozzáadódik…
A második havi részlet.

Aztán ez a pénz kamatozik tovább…
Eltelik a második hónap…

És utána befizetjük a harmadik havi részletet.

Most ez a pénz kamatozik tovább…
És ez így megy egészen az n-edik hónap végéig.

Ezt gyűjtőjáradéknak nevezzük…

A befizetett összeg minden hónapban a, és a havi kamat p%-os.
Az n darab hónap végére összegyűlt pénzünk pedig:

Nézzünk meg erre egy példát… 5 éven át havonta 100 ezer forintot fizetünk be egy megtakarítási számlára. Mennyi pénz gyűlik össze 5 év alatt, ha az éves kamat 6% és   a) minden hónap végén jóváírják a kamatot?  b) a befizetéseket félévente egyben teszik rá a megtakarítási számlára,        és a kamatot is félévente írják jóvá?

Kezdjük a havi kamatozással.
Mivel most pénzt gyűjtünk, nem pedig törlesztünk, így ez a képlet fog kelleni…

Gyűjtőjáradék:

Az ámokfutás

Havonta fizetünk be 100 ezret…
És a kamat jóváírása is havi, vagyis havi kamattal kell számolni.

Törlesztőjáradék:

Összesen 5 év telik el…
De a képletben n a periódusok száma.

Havi periódusok vannak, 5 év alatt pedig 60 hónap van.

Az 5 éve alatt összesen 7 millió 11 ezer 888 forint gyűlik össze.

És most nézzük, mi a helyzet a másik esetben…
Itt is havonta fizetünk be 100 ezret…

De a pénz csak félévente kerül be a rendszerbe.

Vagyis az egész történet csak itt kezdődik…
És 6 hónapnyi pénz kerül a számlára, vagyis 600 ezer.

A kamatot félévente írják jóvá, a periódusok száma pedig…
Úgy tűnik, hogy 9 darab…

Azért nem 10 darab, mert az utolsó befizetés itt a végén már nem kamatozik.

Mire mennénk a rajz nélkül…

A féléves periódusokra eső kamat az éves kamat fele…

 
És mind a 9 darab periódus elején 600 ezret fizetünk be.
Jöhet a képlet:
 

Ennyi pénz gyűlik össze a 9 darab periódusban.
És itt van még ez a 600 ezer…
 

Az 5 éve alatt így összesen 6 millió 878 ezer 328 forint gyűlik össze.

Bob lakásra gyűjt, és szeretne ennek érdekében 40 millió forintot félretenni a bankszámláján. Hány évre van szüksége ehhez Bobnak, hogyha az éves kamat 6% és havonta 100 ezer forintot tud erre a célra szánni?

Bobnak a gyűjtőjáradék képletére lesz szüksége.
  

 Ez a gyűjtőjáradék képlete:

40 milliónak kéne összejönni...

A havi részlet pedig 100 ezer.
És a havi kamat…

 
És most próbáljuk meg kideríteni, hogy mennyi az n.

Az n-et a kitevőből egy logaritmus segítségével tudjuk leszedni. 
Az mindegy, hogy milyen alapú logaritmus.

Legyen 10-es alapú, mert az van minden számológépen.
 

Bobnak 219,6 hónap alatt meg is lesz a 40 milliója.

Ez kerekítve 220 hónap.

Kicsivel több, mint 18 év és már meg is van Bob lakása….

Bob úgy dönt, hogy már kicsit hamarabb is szeretne lakni valahol, így inkább hitelt vesz föl és vesz egy lakást.

Bob 40 millió forint hitelt vett föl 6%-os éves kamattal. Hány évig tart visszafizetnie a hitelt, ha 100 ezer forint a havi törlesztő?

A havi kamat most is ugyanannyi, mint az előbb…

És most ki kéne deríteni valahogyan, hogy mennyi az n…

 
ű
Megint jön a logaritmus…

Bob egy olyan egyetemen szeretne tanulni, ahol a féléves tandíj 800 ezer forint. A tandíjat mindig a félév elején kell kifizetni, és a képzés 5 évig tart. Az egyetem előtt 4 éven keresztül minden hónapban ugyanakkora pénzeket tesz félre. Havonta mennyi pénzt tegyen félre, ha az éves kamat egész idő alatt 6%-os?

Készítsünk egy rajzot…
A történetnek ez a része egy gyűjtőjáradék…

 
Bob minden hónapban ugyanannyi pénzt tesz félre.
Fogalmunk sincs, hogy mennyit, éppen ez a feladat, hogy kiderítsük.

És azt sem tudjuk, hogy mennyi pénznek kell összegyűlnie.
Az egyetemi tandíj félévente 800 ezer…
5 év alatt 10 félév van…

Bob összesen 8 milliót fizet ki tandíjra, de a kamatok miatt ennél kicsivel kevesebb pénzt is elég összegyűjtenie.

Ez a rész egy törlesztőjáradék…
Csak éppen van benne egy trükk…

A törlesztőjáradéknál mindig a periódus végén törlesztünk.
Bob viszont a tandíjat a félévek elején fizeti.

Ezt a kis problémát úgy lehet kezelni, hogy az első részletet külön vesszük…
És tessék, így a többi részlet már a periódus végén van.

A törlesztőjáradék képlete úgy néz ki, hogy 9 perióduson át megy, és félévente 800 ezer a törlesztő.

 
Mivel félévente törlesztünk, a kamat is az éves kamat fele:

Bobnak ennyi pénzzel kell kezdenie az egyetemet…
Plusz a legelső félév díja.

Bob minden hónapban ugyanannyit fizet be a számlájára…
Úgyhogy itt havi kamattal fogunk számolni.

 
4 év alatt 48 hónap van, vagyis a periódusok száma 48 lesz.
És most jöhet a számolás…

Bobnak 4 éven át havi 129 288 forintot kell félretennie.