- Számológép trükkök és tippek az érettségire
- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram = sodrófadiagram = box plot
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Kombinatorika (14 pont)
- Valószínűségszámítás (13,5 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (9,3 pont)
- Térgeometria (9,3 pont)
- Koordinátageometria (8,7 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (7,8 pont)
- Szöveges feladatok (7,1 pont)
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (6,4 pont)
- Síkgeometria (5,9 pont)
- Integrálás (5,6 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Statisztika (5,5 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (2,7 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (2,6 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Számelmélet (2,5 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Gráfok (2,3 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Középpontos hasonlóság (1,4 pont)
- Halmazok
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Elsőfokú függvények
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Számrendszerek
- Százalékszámítás
- Másodfokú egyenletek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Feladatok függvényekkel
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Trigonometria, szinusztétel, koszinusztétel
- Vektorok
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Összetett függvény, inverz függvény
- Függvények határértéke és folytonossága
- Függvények érintője
Logaritmus, logaritmikus egyenletek (2,7 pont)
Szerezd meg a hiányzó tudást
2025 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2025 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2024 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2024 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2023 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2023 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2022 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2022 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2021 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2021 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2020 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2020 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2019 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2019 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2018 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2018 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2017 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2017 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2016 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2016 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2015 OKTÓBERI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcs2015 MÁJUSI EMELT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI
Emelt matek érettségi feladatlap Emelt matek érettségi megoldókulcsEnnek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Logaritmus
$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.
Logaritmus azonosságok
\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)
Logaritmikus egyenlet megoldása
A logaritmikus egyenletek megoldásának lényege, hogy ilyen alakra jussunk:
\( log_{a}{x} = b \)
Mert innen a logaritmus definíciója miatt az következik, hogy
\( x = a^b \)
Ahhoz, hogy a bonyolúltabb egyenleteket is ilyen alakra hozzuk, a logaritmus azonosságait használjuk.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{x}+\log_{3}{16} = 4 \)
b) \( \log_{4}{x}+\log_{4}{(x-4)} = \log_{4}{5} \)
c) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)} = 4 \)
d) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)} = \log_{2}{5} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)} +2 \)
b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)
c) \( \lg{ (x-2) } + \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)
Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenlőtlenségeket.
a) \( \log_{\sqrt{5}}{(x+4)} - \log_{\sqrt{5}}{12} \geq \log_{\sqrt{5}}{x-1)} \)
b) \( \log_2{(x-5)}-\log_2{(x+4)} \geq 3 \)
c) \( \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{\left( x^2 + 16 \right) } \leq \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{ \left( 9x-4 \right) } \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
