Barion Pixel Matek 9. osztály | mateking
 
24 témakör, 259 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Matek 9. osztály kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
4 980 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 24 szekcióból áll: Halmazok, Kombinatorika, Gráfok, Százalékszámítás, Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak, Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés, Algebra, betűs kifejezések használata, Nevezetes azonosságok, Elsőfokú egyenletek, Egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Mértékegységek és mértékegység-átváltás, Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai, Síkgeometria, A Pitagorasz-tétel, Egybevágósági transzformációk, Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek, Vektorok, Elsőfokú függvények, Függvények ábrázolása, Egyenlőtlenségek, Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek, Statisztika, Valószínűségszámítás

Halmazok

  • -

    Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

  • -

    A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

  • -

    Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

  • -

    Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

  • -

    Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

  • -

    Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

Kombinatorika

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    $n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Gráfok

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Százalékszámítás

  • -

    A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

  • -

    A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

  • -

    A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

  • -

    A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

  • -

    A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

  • -

    A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

  • -

    Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak

  • -

    A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

  • -

    Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

  • -

    Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

  • -

    Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

  • -

    Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

  • -

    Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

  • -

    Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

  • -

    Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

  • -

    A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.

Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Algebra, betűs kifejezések használata

  • -

    Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

    A műveleti sorrendben a zárójel az első.

    Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

    Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

  • -

    Az együttható a betűs kifejezés előtt álló szám.

  • -

    Az algebrai kifejezésekben a betűket változóknak nevezzük.

  • -

    A betűs kifejezéseket nevezzük algebrai kifejezéseknek.

  • -

    Az önmagában álló számokat nevezzük konstansnak.

  • -

    Egynemű kifejezések azok a betűs kifejezések, amik csak az együtthatójukban különböznek.

  • -

    Az egynemű kifejezések mindig összevonhatóak.

  • -

    A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.

  • -

    Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

  • -

    Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

  • -

    Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.

  • -

    A helyettesítési érték azt jelenti, hogy a betűs kifejezés helyére írjuk be a behelyettesítendő értéket.

Nevezetes azonosságok

Elsőfokú egyenletek

Egyenletrendszerek

  • -

    A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

  • -

    Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Szöveges feladatok

Mértékegységek és mértékegység-átváltás

Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai

  • -

    Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

  • -

    Két pont közti részt szakasznak nevezzük.

  • -

    Ha egy síkot egy egyenessel kettévágunk, akkor két félsík keletkezik.

  • -

    Ha a teret egy síkkal két részre vágjuk, akkor két féltér keletkezik.

  • -

    Két félegyenes által közrezárt belső tartományokat szögnek nevezzük.

    A szög csúcsa a két félegyenes metszéspontja, a szög szárai pedig a félegyenesek. A belső részt szögtartománynak is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög 0° és 90° közé esik, akkor hegyesszögnek nevezzük.

  • -

    Ha egy szög pontsoan $90°$-os, akkor derékszögnek is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög $90°$ és $180°$ közé esik, akkor tompaszögnek nevezzük.

  • -

    Ha egy szög pontosan $180°$-os, akkor egyenesszögnek is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög $180°$ és $360°$ közé esik, akkor homorúszögnek nevezzük.

  • -

    Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

  • -

    Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.

    A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.

    A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

    Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.

    És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.

  • -

    Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.

  • -

    Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

    Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.

  • -

    Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.

Síkgeometria

  • -

    Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

  • -

    Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és sík távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és egyenes távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két egyenes távolságát?

  • -

    Hogyan számítjuk egyenes és sík távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két sík távolságát?

  • -

    Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

  • -

    Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

  • -

    Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.

  • -

    A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.

  • -

    Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.

  • -

    Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.

  • -

    A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

  • -

    Két szimmetrikus körív, amely megadja azokat a pontokat, amik alatt egy szakasz azonos szögben látható.

  • -

    Kör kerületének és területének képletei.

  • -

    Mi az a körcikk, és hogyan számolható ki az ívhossza és területe.

A Pitagorasz-tétel

Egybevágósági transzformációk

  • -

    A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.

  • -

    Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.

  • -

    Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.

  • -

    A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk, na és persze egy szög.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.

  • -

    Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.

  • -

    Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.

  • -

    Háromszögek egybevágóságának 4 esete.

Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek

  • -

    Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.

  • -

    Azokat a síkidomokat, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszok, sokszögeknek nevezzük.

  • -

    A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni.

  • -

    A konvex síkidom az, amelyikbe nem lehet elbújni.

  • -

    Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak. 

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.

  • -

    A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.

  • -

    Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

  • -

    Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

  • -

    Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

  • -

    A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

  • -

    A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

  • -

    A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

  • -

    A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

  • -

    A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

  • -

    A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

  • -

    A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

  • -

    Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.

  • -

    Néhány képlet háromszögek területére. A jól ismert klasszikus területképlet mellett nézünk még két másikat is.

  • -

    A Hérón-képletet akkor használjuk, ha ismert a háromszög mindhárom oldala.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

  • -

    Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

Vektorok

  • -

    A vektor egy irányított szakasz.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Elsőfokú függvények

Függvények ábrázolása

Egyenlőtlenségek

  • -

    Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

Statisztika

  • -

    A módusz a leggyakoribb érték.

  • -

    A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

  • -

    Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

  • -

    Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

  • -

    Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

  • -

    Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

  • -

    A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

  • -

    A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Valószínűségszámítás