a) Egy háromszög két szöge 65° és 54°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
b) Egy háromszög két szöge 62° és 56°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
c) Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 65°-osak. Mekkora a szárak által közbezárt szög?
d) Egy másik egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szög 48°. Mekkorák az alapon fekvő szögei?
e) Egy egyenlőszárú háromszögben a szárszög 15°-kal kisebb, mint az alapon fekvő szögek. Mekkorák a szögei?
f) Egy másik egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kétszer akkorák, mint a szárszög. Mekkorák a szögei?
g) Egy egyenlőszárú háromszög egyik szöge 48°. Mekkora lehet a másik két szöge?
a) Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?
b) Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögéről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Itt van aztán ez a paralelogramma, aminek az egyik szöge 42°-os. Mekkora a többi szöge?
d) Végül itt jön még egy trapéz, amiben annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögei?
Rajzoljunk példákat konvex és konkáv alakzatokra.
Dani és Dorka megosztják egymás között, hogy ki melyik síkidomot rajzolja meg a házi feladatukhoz. Dani csak vonalzót szeretne használni, Dorka viszont a görbe vonalakat kedveli. Válogassuk szét, hogy ki melyik síkidomot rajzolja meg!
Válogassuk szét a síkidomokat aszerint, hogy sokszögek vagy sem, illetve, hogy konvexek vagy konkávok.
Döntsük el, hogy szerkeszthető-e háromszög ezekkel az oldalakkal:
a) $a=5 \; cm, \; b=7 \; cm, \; c=2 \; cm$.
b) $a=4 \; dm, \; b=5 \; dm, \; c=10 \; dm$.
c) $a=8 \; cm, \; b=4 \; cm, \; c=5 \; cm$.
a) Egy háromszög két szögét ismerjük. Az egyik $120$ fokos, a másik $126$ fokos. Mekkorák a háromszög belső szögei?
b) Egy háromszög egyik külső szöge $56°$-kal nagyobb, mint a hozzá tartozó belső szög. Mekkora az $\alpha$ belső szög?
c) Egy egyenlőszárú háromszög egyik külső szöge $118°$. Mekkorák a belső szögei?
a) Egy háromszög egyik oldala $10\; cm$, a hozzá tartozó magasság $6\; cm$. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy háromszög területe $42 \; cm^2$ és az egyik oldalhoz tartozó magasság $6\; cm$. Mekkora ez az oldal?
c) Itt jön egy újabb háromszög, aminek egyik oldala $8 \; cm$, a háromszög területe $56 \;cm^2$. Mekkora az oldalhoz tartozó magasság?
d) Egy háromszög egyik oldala $84 \; cm$, a hozzá tartozó magasság $5\; dm$. Hány $dm^2$ a háromszög területe?
e) Egy háromszög területe $50\; cm^2$ és az egyik oldalhoz tartozó magassága $50 \; mm$. Hány cm ez az oldal?
f) Egy háromszög egyik oldala $1,5 \; m$, a háromszög területe $30 \; dm^2$. Hány dm az oldalhoz tartozó magasság?
a) Mekkora a háromszög területe, ha az egyik oldala $16\; cm$ és a hozzá tartozó magassága $9\; cm$?
b) Egy háromszög területe $56 \; cm^2$ és a $b$ oldalhoz tartozó magasság $7\; cm$. Mekkora a $b$ oldal?
c) Egy háromszög területe $64 \; cm^2$ és a $c$ oldal $16\; cm$. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
d) Egy háromszög $b$ oldala $12\; cm$, a hozzá tartozó magasság $10\; cm$. A $c$ oldalhoz tartozó magasság $15\; cm$. Mekkora a $c$ oldal?
a) Egy paralelogramma $a$ oldala 16 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 9 cm. Mekkora a területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 7 cm és 9 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma területe $60 \; cm^2$, és az oldalaihoz tartozó magasságok 6 cm és 4 cm. Mekkorák az oldalai?
d) Egy paralelogramma $a$ oldala 8 cm és a hozzá tartozó magasság 6 cm. A $b$ oldalhoz tartozó magasság 4,8 cm. Mekkora a paralelogramma kerülete?
a) Egy paralelogramma oldalai 6 cm és 8 cm. A hosszabbik oldalhoz tartozó magasság 1 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó. Mekkora a paralelogramma területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 8 cm és 10 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 6 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma $a$ oldala 8 cm és a hozzá tartozó magasság 6,75 cm. A $b$ oldalhoz tartozó magasság 6 cm. Mekkora a paralelogramma kerülete?
d) Egy paralelogramma oldalai 12 cm és 8 cm. A rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 2 cm-rel hosszabb, mint a hosszabb oldalhoz tartozó. Mekkora a paralelogramma területe?
a) Egy paralelogramma hosszabbik oldalhoz tartozó magassága 4 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó magassága. A hosszabbik oldal éppen kétszerese a rövidebbik oldalnak. Mekkora a paralelogramma kerülete, ha a területe $56 \; cm^2$?
b) Egy másik paralelogramma hosszabbik oldalhoz tartozó magassága 5 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság. A hosszabbik oldal éppen kétszerese a rövidebbik oldalnak. Mekkora a paralelogramma kerülete, ha a területe $60 \; cm^2$?
a) Egy paralelogramma $a$ oldala 16 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 9 cm. Mekkora a területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 7 cm és 9 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma területe $60\; cm^2$, és az oldalaihoz tartozó magasságok 6 cm és 4 cm. Mekkora a kerülete?
d) Egy templom függőleges homlokzata felül háromszögalakban végződik. A homlokzat nem szimmetrikus, az egyik oldalon 23 méter magasan indul a ferde rész, a másik oldalon pedig 14 méter magasan. A homlokzat legmagasabb pontja, ami a háromszögszerű rész csúcsa 36 méter magasan van. Ha ezt a csúcsot merőlegesen összekötjük a talajjal, akkor ez a vonal a homlokzatot egy 10 méter széles és egy 15 méter széles részre osztja ketté. Mekkora a homlokzat területe?
a) Mekkora egy szabályos hétszög belső szögeinek összege?
b) Mekkora egy szabályos 100-szög egy belső szöge?
a) Hány átlója van egy szabályos nyolcszögnek?
b) Hány átlója van egy szabályos 100-szögnek?
Mennyi egy háromszög belső szögeinek összege?
a) Mit nevezünk a háromszög magasságvonalának, súlyvonalának?
b) Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalakat?
c) Mit nevezünk a háromszög középvonalának?
d) Mi a háromszög köré és a háromszögbe írható kör középpontja?
a) Egy háromszög egyik oldalának hossza \(8,5\; cm\), a hozzá tartozó magasság \(2\; dm\). Mekkora a háromszög területe?
b) Egy háromszög területe \(60\; cm^2\), egyik oldalának hossza \(10\; cm\). Mekkora az oldalhoz tartozó magassága?
Mekkora annak a háromszögnek a \(b\) oldalhoz tartozó magassága, amelynek \(b\) oldala \(30\; mm\), a oldala \(4\; cm\), és az \(a\) oldalához tartozó magassága \(6\; cm\) hosszúságú?
a) Egy derékszögű háromszög két befogójának nagysága \(4\) és \(7\; cm\) hosszúságú. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(1,5\; dm\), területe \(60\; cm^2\). Hány \(dm\) a másik befogója?
Egy sportpálya belső része 62 méter hosszú és 44 méter széles téglalap alakú füves terület. Körülötte 10 méter széles sávban egy futópálya található. A futópálya párhuzamos a belső téglalap 62 méteres oldalaival, a 44 méteres oldalaknál pedig egy-egy félkörívben halad. Mekkora a futópálya területe?
Bob úgy dönt hogy leugrik a sportpályára futni egy kört. Hány méterrel fut többet, ha a futópálya külső szélén fut, mint akkor, ha a belsőn?
Bob a téglalap alakú füves rész 62 méteres oldalára rajzol két egyforma félkörívet úgy, hogy az átmérőik összege éppen 62 méter legyen. Aztán a másik 62 méter hosszú oldalra is rajzol két félkörívet, de azok nem egyformák, az átmérőik összege viszont szintén 62 méter. Bizonyítsuk be, hogy a pálya egyik oldalára rajzolt görbe vonal hossza ugyanakkora, mint a másik oldalára rajzolt görbe vonal hossza.
a) Egy 4 egység sugarú körben lévő húr két végpontja A(2,5) és B(6,1). Adjuk meg a kör középpontját.
b) Adott három pont, A(2,5) B(4,3) és C(8,3). Keressük annak a körnek a középpontját, amelyik mindhárom ponton átmegy.
c) Az A(2,4) és B(8,4) pont egy kör átmérőjének két végpontja. Mekkora a kör sugara és hol van a kör középpontja?
a) Egy kör középpontja a K(6,5)pont és a kör sugara 3 egység. Rajzoljuk fel a kört és jelöljük be azokat a pontokat, amik a K ponttól legfeljebb 3 egység távolságra vannak.
b) Rajzoljuk be azokat a pontokat, amik a K(3,4)ponttól legalább 2 egység távolságra és legfeljebb 5 egység távolságra vannak.
c) Végül rajzoljuk be azokat a pontokat is, amik a K(5,3)ponttól legalább 3 egységre és az M(5,5)ponttól legfeljebb 5 egységre vannak.
Egy 32 cm átmérőjű pizza szélén, egy 4 cm-es sávon általában már nincs semmi. Mekkora ennek az "üres" résznek a területe?
a) Van egy 32 centiméter átmérőjű pizza, meg két darab 22 centiméteres. Melyiknek nagyobb a területe, az egy darab 32 centiméteresnek, vagy a két darab 22 centiméteresnek együtt?
b) Egy templomtorony órája 6 méter átmérőjű körlap. A számok a körlap szélén 1 méter szélességű gyűrűn helyezkednek el. Mekkora ennek a gyűrűnek a területe?
a) Mekkora egy 32 cm-es pizza sugara?
b) Mi a kör szelője, érintője, átmérője, sugara?
a) Bob randizni viszi barátnőjét. Szeretett volna tökéletes helyszínt találni és így esett a választás erre a körhintára, ahol "egy kör" befizetése esetén a gép 2,5-szer is körbefordul. Hány métert tesznek meg ezzel a körhintával "egy kör" esetén, ha a körhinta átmérője 4,2 méter?
b) Hatalmas siker volt a körhinta, ezért felültek még egy körre. De sajnos a gép menet közben elromlott, így csak 5 méternyi utat tettek meg. Hány fokkal fordult el Bob és a barátnője az induláshoz képest?
c) Bob és a barátnője egy 55 centis pizzát esznek közösen. Úgy akarják elosztani, hogy Bob eszi meg a 60%-át és 40%-ot kap a barátnője. Bob egy körcikket vágott neki, ami éppen a teljes pizza területének 40%-a. Mekkora középponti szög tartozik ehhez a körcikkhez?
a) Egy 50 méter átmérőjű óriáskerék 900 fokot fordult. Mekkora utat tesz meg így az óriáskeréken egy kabin?
b) Ugyanezen az 50 méter átmérőjű óriáskeréken egy kabin 120 méternyi körívet fordult. Hány fokos középponti szög tartozik ehhez a körívhez?
a) Egy 32 cm átmérőjű pizzát négy egyenlő körcikkre vágunk fel. Az egyik körcikknél levágjuk egyenesre a körcikk ívét és így egy körszeletet kapunk. Mekkora ennek a szeletnek a területe?
b) Egy 10 cm sugarú körben mekkora a 60°-os középponti szöghöz tartozó körszelet területe?
a) Egy 8 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik a 122,6°-os középponti szöghöz?
b) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körívhez, melynek sugara 7 cm és ívhossza 12 cm?
c) Mekkora a sugara annak a 110°-os középponti szögű körcikknek, aminek a területe \(215 \; cm^2\)?
a) Egy 12 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik a 40°-os középponti szöghöz?
b) Mekkora a sugara annak a körnek, aminek a 35°-os középponti szögéhez tartozó ív hossza 6 cm?
c) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a 16 cm átmérőjű körben lévő körcikkhez, aminek a területe \(34\;cm^2\)?
a) Egy 7 cm sugarú körben mekkora a 140°-os középponti szöghöz tartozó kisebbik körszelet területe?
b) Számoljuk ki annak a körszletnek a területét, amelyet egy 9 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 4 cm távolságban haladó szelővel.
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 50 fokos szöget zár be. Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Bob nem túl jó matekból, viszont szeret rajzolni, így hát elhatározta, hogy ábrázolja a matekjegyeit egy 20 cm átmérőjű kördiagramon.
a) Mekkora középponti szög tartozik a kettesekhez?
b) Milyen hosszú körív tartozik a hármasokhoz?
c) Mekkora a sárga körcikk területe a négyeseknél?
a) Egy óriáskerék 16 darab kabinja egyenletesen helyezkedik el a 60 méter átmérőjű keréken. Mekkora a két szomszédos kabin közötti körcikk területe?
b) Egy torony óráján a nagymutató csúcsa éppen az óra kör alakú számlapjának széléig ér. Ahogy a mutató körbefordul, a mutató csúcsa 5 perc alatt 1,6 métert tesz meg. Mekkora az óra számlapjának a területe?
c) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a 10 méter átmérőjű körben lévő körcikkhez, aminek a területe 4 m2?
a) Bobnak épp nincs programja délutánra, ezért azt találta ki, hogy berajzolja egy koordinátarendszerbe az A(5,6) pontot, meg a B(3,2) és C(8,8) meg D(5, 10) és E(3,8) pontokat. Aztán annyi sütit eszik, ahány darab pont közelebb van az A-hoz, mint 4 egység. Hány sütit eszik Bob?
b) Maradt még süti, így hát Bob újabb kihívást talál ki. Berajzolja az A(5,3) pontot, és annyi sütit eszik meg, ahány pont legalább 2 egység és legfeljebb 5 egység távolságra van az A-tól ezek közül a pontok közül:
B(2,2) C(7,7) D(7,10) E(3,8)
Hány sütit eszik Bob?
c) Bob úgy dönt, hogy az utolsó sütit akkor eszi meg, ha talál olyan pontot, ami az A(2,3)-tól 5 egység távolságra, a B(7,6)-tól pedig 3 egység távolságra van.
a) Egy négyzet kerülete \(84\; cm\). Mekkora a területe?
b) Egy négyzet területe \(81\; cm^2\) . Mekkora a négyzet kerülete?
a) Egy téglalap egyik oldalának hossza \(3\; cm\), területe \(24\; cm^2\). Mekkora a téglalap kerülete?
b) Egy téglalap egyik oldalának hossza \(8\; cm\), kerülete \(24\; cm\). Mekkora a téglalap területe?
Egy téglalapnak és egy négyzetnek ugyanakkora a kerülete. A négyzet oldalai \(5\; cm\)-esek, a téglalap rövidebbik oldalának hossza \(4\; cm\).
A négyzet vagy a téglalap területe a nagyobb és mennyivel?
Egy paralelogramma hosszabbik oldala \(0,9\; dm\), a hozzá tartozó magasság \(2\; cm\) hosszúságú.
a) Mekkora a paralelogramma területe és a rövidebb oldala, ha a rövidebb oldalához tartozó magassága \(6\; cm\)?
b) Mekkora a paralelogramma kerülete?
Egy paralelogramma területe \(60\; cm^2\).
a) Mekkora az \(a\) oldalához tartozó magassága, ha az \(a\) oldalának hossza \(12\; cm\)?
b) Mekkora a \(b\) oldala, ha a hozzá tartozó magasság \(1\; dm\)?
c) Mekkora a paralelogramma kerülete?
Egy paralelogramma egyik oldalának hossza \(10\; cm\), kerülete \(36\; cm\). A rövidebbik oldalához tartozó magassága \(1\; cm\)-rel hosszabb, mint a hosszabbik oldalhoz tartozó magassága.
a) Mekkora a paralelogramma másik oldalának hossza?
b) Mekkora a paralelogramma két oldalához tartozó magassága?
c) Mekkora a paralelogramma területe?
a) Egy rombusz oldalainak hossza \(4\; cm\) hosszúságúak. Magassága \(3\; cm\). Mekkora a rombusz területe és kerülete?
b) Egy rombusz kerülete \(64\; cm\). Mekkora a magassága, ha területe \(160\; cm^2\)?
c) Egy rombusz magassága \(5\; cm\), területe \(1\; dm^2\). Mekkora a rombusz kerülete?
a) Egy rombusz két átlójának hossza \(4\) és \(5\; cm\) hosszúságúak. Mekkora a rombusz területe?
b) Egy rombusz két átlójának hossza \(6\) és \(8\; cm\) hosszúságú. Oldalai \(5\; cm\) hosszúságúak.
Mekkora a rombusz területe, kerülete, magassága?
a) Egy deltoid átlói \(5\) és \(8\; cm\)-esek. Mekkora a deltoid területe?
b) Egy deltoid területe \(0,8\; dm^2\) , egyik átlója \(16\; cm\). Mekkora a másik átlója?
c) Egy deltoid egyik átlója egy cm-rel hosszabb, mint a másik. Területe \(36\; cm^2\) . Mekkora a deltoid két átlójának hossza?
a) Egy háromszög egyik oldala 120°-os szögben, egy másik oldala pedig 132°-os szögben látszódik a háromszög köré írt körének középpontjából. Mekkorák a háromszög belső szögei?
b) Az \(ABCD\) húrnégyszögben a \(B\) csúcsnál lévő szöget a \(DB\) átló egy 15°-os és egy 65°-os szögre osztja. Bizonyítsuk be, hogy az \(ACD\) háromszög \(D\) csúcsnál lévő szöge 100° és a \(C\) csúcsnál lévő szög 15°.
