Racionális törtfüggvények integrálása | mateking
 

Racionális törtfüggvények integrálása

Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.

\( \int \frac{A}{ax+b} \; dx = A \int \frac{1}{ax+b} \; dx = A \ln{ \mid ax+b \mid} \cdot \frac{1}{a} \)

\( \int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} \; dx = A \int \frac{ x + \frac{B}{A} }{ax^2+bx+c} \; dx = \frac{A}{2a} \int \frac{ 2ax + \frac{2aB}{A}}{ax^2+bx+c} \; dx = \)

\( = \frac{A}{2a} \int \frac{ 2ax+b+ \frac{2aB}{A}-b}{ax^2+bx+c} \; dx = \frac{A}{2a} \left( \int \frac{2ax+b}{ax^2+bx+c} + \frac{E}{ax^2+bx+c} \; dx \right) = \)

\( = \frac{A}{2a} \left( \ln{ \mid ax^2+bx+c \mid} + \frac{E}{aD} \arctan{ \left( \frac{1}{\sqrt{D}} x + \frac{b}{2a \sqrt{D}} \right) } \cdot \sqrt{D} \right ) \)