Adott egy kocka. Az A csúcsából kiinduló 3 oldalvektor segítségével fejezzük ki az alábbi vektorokat.
a) \( \overrightarrow{AG} = \; ? \)
b) \( \overrightarrow{FH} = \; ? \)
c) \( \overrightarrow{CE} = \; ? \)
Az $e$ egyenesről tudjuk, hogy merőlegesen döfi az $x+2y+3z=6$ egyenletű síkot az $(1;1;1)$ pontban, az $f$ egyenesről pedig, hogy átmegy az $(5;2;-1)$ ponton és a $(13;4;-5)$ ponton. Döntsük el, hogy $e$-nek és $f$-nek van-e közös pontja.
Van-e az $A(-1;-2;1)$, $B(3;1;3)$, és $C(7;6;3)$ pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az $y$-tengelyre esik? Ha igen, melyik?
Az $e$ egyenes egyenletrendszere $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, az $f$ egyenes egyenletrendszere pedig $\frac{x}{-2}=\frac{3-y}{6}=\frac{2-z}{10}$. Döntsük el, hogy $e$ és $f$ párhuzamosak-e. Ha igen, akkor határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely mindkettőt tartalmazza.
Határozzuk meg az $x-4=\frac{y+5}{4}=\frac{2-z}{3}$ egyenletrendszerű $e$ egyenes minden olyan $P$ pontját, amelyre a $P$-t a $Q(7;12;4)$ ponttal összekötő $f$ egyenes merőleges $e$-re.
A $p$ paraméter milyen értékére esnek egy síkba az $A(2;3;3)$, $B(3;4;1)$, $C(4;6;2)$, és $D(p;2;5)$ pontok?
Párhuzamos-e az $\frac{5x+3}{10}=\frac{4-y}{5}=\frac{5-2z}{2}$ egyenletrendszerű egyenes a $6x+y+7z=91$, illetve az $5x+2y=79$ egyenletű síkok metszésvonalával?
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a $P(12;1;7)$ ponton és merőlegesen metszi az $x-3=\frac{y-2}{3}=\frac{-z-1}{4}$ egyenletrendszerű egyenest.
Milyen hosszú az \( \underline{a}=(2,4) \) vektor?
Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy az $ \underline{a}=(x,3)$ és $ \underline{b}=(5,2)$ vektorok egymásra merőlegesek legyenek.
Adjuk meg az $\underline{a}=(3,2)$ vektor +90°-os és -90°-os elforgatottját.
Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, amelyik átmegy az $AC$ szakasz felezőpontján, és merőleges az $ABC$ síkra, hogyha adott $A(1,0,7), B(2,-4,4)$ és $C(3,-2,-1)$.
Határozzuk meg az $A(1,-2,3)$ és $B(4,1,0)$ pontok által adott szakasz felezőpontján átmenő és az $\underline{a} = (-1,2,4)$ vektorral párhuzamos egyenes egyenletét. Adjuk meg az $\vec{AB}$ és $\underline{a}$ vektor szögét.
