Síkgeometria (4,5 pont)
Válaszd ki, hogy melyik év középszintű érettségi feladataival szeretnél gyakorolni.
- 2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
Pont, egyenes, sík
Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.
Két pont távolsága
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Pont és sík távolsága
Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Pont és egyenes távolsága
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két egyenes távolsága
Ha a két egyenes egy síkban van, akkor vagy metszik egymást (ilyenkor a távolság 0), vagy párhuzamosak. Ha párhuzamosak, akkor távolságuk az egyeneseket összekötő merőleges szakasz hossza.
Ha a két egyenes nem egy síkban van, akkor kitérő egyeneseknek nevezzük őket.
A kitérő egyenesek távolsága pedig az őket befogadó párhuzamos síkok távolsága.
Egyenes és sík távolsága
Ha az egyenes rajta fekszik a síkon, akkor a távolság nulla.
Ha az egyenes döfi a síkot, na ilyenkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor a távolságuk az egyenes tetszőleges pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két sík távolsága
Két sík lehet egymással párhuzamos, vagy metsző.
Ha metszők, akkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha párhuzamosak, akkor a két sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Nevezetes ponthalmazok
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Három ponttól azonos távolságra lévő pont a három pon köré írható kör középpontja.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes szögének szögfelezője.
Négyzet
A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög. Egy sokszöget akkor nevezünk szabályos sokszögnek, ha minden oldala és minden szöge egyforma. Így tehát az egyetlen szabályos négyszög a négyzet. Ezen kívül a négyzetek mége egy fontos dolgot tudnak: az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzet területe:
\( T = a^2 \)
A négyzet kerülete:
\( K = 4a \)
Téglalap
Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak. Olyankor, amikor az oldalai is egyenlő hosszúak, egy négyzetet kapunk. A téglalapok egyik fontos tulajdosága, hogy a szemközti oldalai egyforma hosszúak, vagyis két darab a hosszúságú és két darab b hosszúságú oldala van. A téglalapoknak egy másik fontos tulajdonsága pedig, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak egymással. Ez pedig azt jelenti, hogy a téglalapok mindig paralelogrammák is egyben (ugyanis a paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek van két párhuamos oldalpárjuk).
Területe:
\( T = a \cdot b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Rombusz
Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük. Amikor a rombusz szögei derékszögek, egy négyzetet kapunk. Vagyis a négyzet is rombusz. A rombuszok másik fontos tulajdonsága, hogy a szemközti oldalaik mindig párhuzamosak egymással, vagyis a rombuszok paralelogrammák. is. Ez elvezet minket a rombusz egy másik definíciójához: a rombusz egyenlő oldalú paralelogramma.
A rombusz magasságát m-mel jelöljük, az átlóit pedig e-nek és f-nek szokás nevezni. Ezeknek a segítségével tudjuk kiszámolni egy rombusz területét.
Területe:
\( T = a \cdot m = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Kerülete:
\( K = 4a \)
Paralelogramma
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok. Vagyis minden négyzet, minden téglalap és minden qrombusz egyben paralelogramma is. A paralelogramma magasságát m-mel szokás jelölni.
Területe:
\( T = a \cdot m_a = b \cdot m_b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Trapéz
A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja. Ezeket az oldalakat a trapéz alapjainak nevezzük és a-val meg c-vel jelöljük. Általában a nagyobbik alapot szokás a-val jelölni és a kisebbik alapot pedig c-vel. Olyankor, amikor a trapéz alapjai egyforma hosszúak, paralelogrammát kapunk. Vagyis minden paralelogramma egyben trapéz is. Sőt, ha meggondoljuk, akkor a trapéz definíciója nagyon sok négyszögre ráillik. Egy darab párhuzamos oldalpárja ugyanis van a négyzetnek, a téglalapnak, a rombusznak és a paralelogrammáknak is. Vagyis minden négyzet, minden téglalap, minden rombusz és minden paralelogramma egyben trapéz is.
Mivel azonban ezeknek van külön neve, amikor egy feladatban trapézról van szó, általában olyan trapézra gondoljunk, aminek két különböző hosszúságú párhuzamos oldala van, az egyik "alul" a másik "felül" és ezek a trapéz a-val és c-vel jelölt alapjai.
Területe:
\( T = \frac{a+c}{2} \cdot m \)
Deltoid
Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.
Egy kicsit precízebben: deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
A deltoidok közül kétféle speciális deltoidot érdemes megjegyezni, az egyik a rombusz, a másik a négyzet. Vagyis minden négyzet és minden rombusz deltoid. A deltoidok átlóit e-vel és f-fel jelöljük, és ezek csak akkor egyforma hosszúak, ha négyzetről van szó. A deltoidok területét általában az átlóik segítségével érdemes kiszámolni.
Területe:
\( T = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Thalész-tétel
A Thalész-tétel azt mondja, hogy ha az $AB$ szakasz egy kör átmérője, és $C$ a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az $ACB$-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az $AB$ szakasz a körív bármely harmadik $C$ pontjából derékszögben látszik.
Kerületi szög
A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.
Középponti és kerületi szögek tétele
Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.
Kerületi szögek tétele
Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.
Húrnégyszög
A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
A húrnégyszögek egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy szemközti szögeinek összege mindig 180°.
Ha egy négyszögnél felfedezzük, hogy szemközti szögeinek összege 180°, akkor abból következik, hogy az húrnégyszög. Ez a gyakorlatban azt is jelenti, hogy van körülírt köre.
Látókörív
A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy $AB$ szakasz egy $0<\alpha<180°$ szögben látszik, két szimmetrikus körív.
Kör kerülete és területe
Az $r$ sugarú kör kerülete:
\( K = 2r \cdot \pi \)
Területe:
\( T = r^2 \cdot \pi \)
Körcikk ívhossza és területe
A körcikk ívhossza és területe úgy aránylik a kör kerületéhez és területéhez, mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360°-hoz:
\( I_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot 2r \cdot \pi \)
\( T_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \)
Párhuzamos szelők tétele
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
Középpontos hasonlóság
A középpontos hasonlósági transzformációhoz adott egy $O$ pont, ez a középpont, és egy $\lambda$ nem nulla valós szám, ez a hasonlóság aránya.
A tér minden $P$ pontjához egy $P'$ pontot rendel a következőképp:
1. ha $P=O$, akkor $P'=P$.
2. ha $P \neq O$, akkor $P'$ az $OP$ egyenes azon pontja, amelyre $OP' = \mid \lambda \mid \cdot OP$ és ha $\lambda >0$, akkor $P'$ az $OP$ félegyenesen van, ha $\lambda <0$, akkor pedig $O$ elválasztja egymástól $P$-t és $P'$-t.
Háromszögek hasonlósága
Két háromszög egymáshoz hasonló, ha...
1.) két szögük egyenlő.
2.) két oldal aránya és a nem kisebbel szemközti szögük egyenlő.
3.) két oldal aránya és az általuk bezárt szögeik egyenlők.
4.) három oldal aránya páronként egyenlő.
Magasságtétel
Derékszögű háromszögben az átfogó magasságának talppontja az átfogót két olyan részre bontja, melyeknek a mértani közepe a magasság:
\( m = \sqrt{p \cdot q} \)
vagy
\( m^2 = p\cdot q \)
Befogótétel
Derékszögű háromszög egy befogója mértani közepe az átfogónak és a befogóra eső vetületének.
\( a = \sqrt{c\cdot q} \qquad b = \sqrt{c\cdot p} \)
vagy
\( a^2 = c\cdot q \qquad b^2 = c\cdot p \)
Területek és térfogatok aránya
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit $\lambda$-szeresére változtatjuk, akkor a területe $\lambda^2$-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit $\lambda$-szeresére változtatjuk, akkor a térfogata $\lambda^3$-szeresére változik.
Mi lehet két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Mi lehet három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Mi lehet két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Hány olyan pont van, ami három egyenestől azonos távolságra van?
a) Mi a háromszög magasságvonala?
b) Mi a háromszög súlyvonala?
c) Mi a háromszög köré írható körének középpontja?
d) Mi a háromszög beírható körének középpontja?
Osztályozzuk a négyszögeket, készítsünk egy halmazábrát a különböző tulajdonságaik szerint.
a) Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szöge?
b) Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Egy harmadik trapézról annyit tudunk, hogy szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögei?
a) Van egy egyenlőszárú háromszög, melynek a szárai $13 cm$ hosszúak, az alapja pedig $10 cm$. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy másik egyenlőszárú háromszögről azt tudjuk, hogy a területe $48 cm^2$ és a szárai $10 cm$ hosszúak. Mekkora a háromszög alapja?
c) Mekkora egy $a$ oldalú négyzet átlója?
d) Mekkora az $a$ oldalú szabályos háromszög magassága?
4. Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be. Mekkorák a húrnégyszög szögei?
a) Mekkora egy 16 cm sugarú kör kerülete és területe?
b) Mekkora egy 16 cm sugarú kör 60°-os, illetve 80°-os körcikkének területe?
c) Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50°-os középponti szöghöz?
d) Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
a) Egy szimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
b) Itt jön egy másik trapéz, aminek a szárai 13 és 15 cm hosszúak, a rövidebbik alap 10 cm, a trapéz magassága pedig 12 cm. Mekkora a trapéz területe?
c) És van ez a harmadik trapéz, aminek a területe 108 $cm^2$, az alapjai 24 cm és 3 cm, az egyik szára pedig 10 cm. Mekkora a másik szár?
a) Az \( ABC \) háromszögben \( AB=8 \) cm és \( AC=12 \) cm és a \( B \) csúcsából induló egyenes az \( AC \) oldalt \( D \)-ben metszi. Mekkora \( AD \) és \( DC \), ha \( ABD\angle = ACB\angle \) ?
b) Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 24 cm. Az átlók 3:1 arányban osztják egymást. Ha a trapéz szárait meghosszabbítjuk, akkor egy olyan egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek a szárai 15 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz oldalai?
Derékszögű háromszögben a befogók hossza 15 és 20 cm. Mekkora szakaszokra bontja az átfogót a hozzá tartozó magasságvonal? Mekkora ez a magasság?
a) Egy háromszög oldalai a=12 cm, b=14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög kerülete 28 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
b) Egy derékszögű háromszög befogói a=12 cm, b=9 cm. Egy ehhez hasonló háromszög területe \( 6 cm^2 \). Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
a) Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 20 cm, szárai 10 cm hosszúak. A trapézt háromszöggé kiegészítő háromszögének szárai 8 cm-esek. Mekkora a trapéz területe?
b) Egy háromszögről azt tudjuk, hogy két szöge 45 és 56 fokos. Egy másik háromszögnek van egy 79 és egy 56 fokos szöge. Hasonló-e a két háromszög?
c) Egy szimmetrikus trapéz két alapja 12 és 6 cm, az átlója pedig 9 cm hosszú. Milyen hosszú szakaszokra osztja ezt az átlót az átlók metszéspontja?
a) A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm?
b) Egy háromszög oldalai a=12 cm, b=14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala?
Jelölje a 4 egység oldalú ABC szabályos háromszög BC oldalának B-hez közelebbi negyedelőpontját P, a CA oldal C-hez közelebbi negyedelőpontját Q, az AB oldal A-hoz közelebbi negyedelőpontját pedig R. Jelölje továbbá AP és BQ szakaszok metszéspontját X, BQ és CR szakaszok metszéspontját Y, végül CR és AP szakaszok metszéspontját Z. Mekkora az XYZ háromszög területe?
Kezdjük a szereplőkkel.
Pont
Egyenes
Sík
Most pedig nézzük, mit is kezdhetnénk ezekkel.
Megmérhetjük például, hogy milyen távol vannak egymástól.
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.
Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két egyenes távolsága már érdekesebb…
Van itt ez a két egyenes.
És vagy egy síkban fekszenek…
vagy nem.
Ha nem, akkor kitérő egyeneseknek nevezzük őket.
A távolságuk pedig ez.
Hamarosan ezt ennél egy kicsit pontosabban is képesek leszünk megfogalmazni.
De most nézzük, mi történik akkor, ha az egyenesek egy síkban vannak.
Ilyenkor vagy metszik egymást…
vagy pedig párhuzamosak.
És ezen utóbbi esetben a távolságuk az egyeneseket összekötő merőleges szakasz hossza.
Itt jön végül az egyenes és sík távolsága.
Ha az egyenes rajta fekszik a síkon, akkor a távolság nulla.
Ha az egyenes döfi a síkot…
na, ilyenkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha az egyenes párhuzamos a síkkal,
akkor a távolságuk az egyenes tetszőleges pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
És most pedig nézzük, mi a helyzet a síkokkal.
Két sík lehet egymással párhuzamos,
vagy metsző.
Ha metszők, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha párhuzamosak, akkor a két sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
És volt még itt régebben ez a kis ügy a kitérő egyenesekkel.
Ezeknek a távolsága…
az őket befogadó párhuzamos síkok távolsága.
És még egy dolog.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy vajon mi lehet két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza.
Egy ilyen pont biztosan van…
A pontokat összekötő szakasz felezőpontja.
Sőt, van több is.
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Ugyanez igaz erre a két pontra is.
Így aztán egyetlen olyan pont van, amely mindhárom ponttól azonos távolságra van.
Ez a pont egyúttal annak a körnek a középpontja, amely mindhárom ponton áthalad.
Most lássuk ugyanezt egyenesekkel.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza…
a két egyenes szögének szögfelezője.
Meg ez a másik is.
Ezen utóbbit külső szögfelezőnek nevezzük.
A külső és a belső szögfelező mindig merőleges egymásra.
Itt jön egy másik egyenes.
Az e-től és g-től egyenlő távolságra lévő pontok ezek.
Meg ezek.
Most lássuk, hány olyan pont van, ami mindhárom egyenestől azonos távolságra van…
Egészen pontosan négy darab.
Hamarosan az is kiderül, hogy ezek a pontok egészen fontos szerepet töltenek be a háromszögek életében.
Már jönnek is a háromszögek…
Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
Most pedig lássuk, hogy milyen fajta háromszögek vannak.
Szerencsére nincsen túl sokféle.
Az egyik speciális típus az egyenlőszárú háromszög.
Ebben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk.
És hát van ugye a harmadik oldal, az alap.
Annyit érdemes róla megjegyezni, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik.
És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye.
Tehát az alapon fekvő szögek egyformák…
A szárak szögét pedig ez a vonal felezi.
Olyankor, amikor az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
a háromszög szabályos.
Minden oldala és szöge egyenlő.
Végül itt jön még egy speciális típus.
A derékszögű háromszög.
Mindig úgy szokás a derékszögű háromszög csúcsait elnevezni, hogy a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a derékszöggel szemben lévő c oldalt átfogónak nevezzük.
A másik két oldalt befogóknak hívjuk.
A derékszögű háromszögek nagyon sok izgalmas élményt nyújtottak az emberiség számára.
Mindjárt nézünk is néhányat közülük.
De most jöjjenek a négyszögek.
Íme, ez egy négyszög.
A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…
Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.
És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…
Vannak átlóik.
Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.
És az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.
Vagy az oldalait rontjuk el…
vagy a szögeit.
Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.
TÉGLALAP
A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.
ROMBUSZ
De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.
A helyzet egy kicsit izgalmasabb.
Ez itt mind téglalap…
Ez pedig itt mind rombusz.
Tehát a négyzet is téglalap.
Sőt a négyzet rombusz is.
Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.
Mindjárt kitisztul.
Csak előbb itt jön még egy dolog.
Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.
És íme, itt is van.
Ez egy oldalba lökött téglalap.
Vagy hivatalos nevén paralelogramma.
Rossz hír: újabb osztály…
És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
Egy darab oldalpár…
és még egy.
A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.
A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.
De van ám itt még más is.
Jönnek a trapézok.
A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
Persze ettől még lehet neki több is…
Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.
Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.
De még mindig van újabb típus…
Ehhez most az átlókat kell nézni.
Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.
A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.
Ez deltoid…
Ez nem deltoid.
És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.
Ez tehát a teljes kollekció.
A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.
Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.
Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.
A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.
Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.
Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…
akkor mindig 360 fokot kapunk.
És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.
A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…
A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.
Jönnek a trapézok…
A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,
olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak
is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van
köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
Ha egy trapéznak nem csak két párhuzamos oldala van…
hanem a másik két oldal is párhuzamos, akkor úgy hívjuk, hogy paralelogramma.
A paralelogramma alapon fekvő szögeinek összege éppen 180 fok.
A paralelogramma területét egy ügyes kis átdarabolásos trükk segítségével tudjuk kiszámolni.
Ennek a téglalapnak a területe éppen
És ez éppen akkora, mint a paralelogramma területe.
A trapézok területéhez pedig egy újabb trükkre van szükség…
Van itt ez a trapéz…
Sőt, itt van újra, csak most fordítva.
Ez így éppen egy paralelogramma, aminek területe a szokásos.
A trapéz területe pedig…
Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas trapézos feladatot…
Épp itt is jön az első. Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?
Hát, nem ez lesz életünk legnehezebb feladata…
A trapéz szárain fekvő szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Nézzünk egy kicsit nehezebbet is…
Itt jön aztán egy érdekesebb ügy. Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
Kezdjük itt.
Az egyik szög 40 fokkal nagyobb a másiknál…
A száron fekvő szögek összege mindig 180 fok:
A másik száron az egyik szög kétszerese a másiknak.
Az összege ezeknek is 180 fok:
Hát, ez is megvan.
Egy harmadik trapézban annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögek?
Így hirtelen fogalmunk sincs, ezért legyen az egyik szög x…
Aztán a másik y, a harmadik z, és a negyedik…
Hát igen, nincs is már több betű.
Ez így mégsem lesz jó…
Hogyha ilyen arányok vannak megadva…
Akkor mindig ezt érdemes csinálni:
Mivel pedig minden négyszög belső szögeinek az összege 360 fok…
A trapéz szárain fekvő szögek összege mindig 180 fok…
Így aztán ezek a szögek tartoznak össze.
06 A Pitagorasz-tétel
Ha van olyan matematikai tétel, amit még azok is tudnak, akik bizonyítottan nem értenek a matematikához, akkor az a Pitagorasz-tétel.
Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:
Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tétel bizonyítása nem igazán megerőltető feladat…
És most lássuk, mire használhatnánk a Pitagorasz-tételt, jóra vagy rosszra…
Van itt ez az egyenlőszárú háromszög, aminek a szárai 13 cm hosszúak, az alapja pedig 10 cm.
Mekkora a háromszög területe?
Hát, úgy durván ekkora:
Jó lenne tudni a háromszög magasságát.
És most jöhet a Pitagorasz-tétel.
Na, ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Egy másik egyenlőszárú háromszögről azt tudjuk, hogy a területe 48 cm2 és a szárai 8 cm hosszúak.
Mekkora a háromszög alapja?
Lássuk, mit kezdhetnénk a területtel…
Itt van aztán ez a derékszögű háromszög.
Bár túl nagy örömöt nem fog okozni, számoljuk ki, hogy mekkora ez az x.
És végre kiderül, hogy mekkora az a.
Itt jön aztán egy másik érdekes ügy.
Számoljuk ki, hogy milyen hosszú egy a oldalú négyzet átlója.
Lássuk, hogyan segíthetne ebben a Pitagorasz-tétel.
Hát így:
Egy másik nagyon izgalmas történet az a oldalú szabályos háromszög magassága.
Ezeket még talán érdemes is megjegyezni.
A Pitagorasz után egy másik nagy klasszikus következik, akit Thalésznek hívnak.
Van itt ez a kör és egy rajta átmenő egyenes.
Az egyenesnek a kör belsejében lévő részét húrnak nevezzük.
Ha az egyenes éppen átmegy a kör középpontján, akkor az így keletkező húr neve átmérő.
És a hossza éppen a kör sugarának a kétszerese.
Erről az átmérőről szól a Thalész-tétel.
Válasszunk ki a köríven egy tetszőleges harmadik pontot.
Mondjuk ezt a C pontot itt.
Keletkezik két egyenlő szárú háromszög.
Ez az egyik…
és ez pedig a másik.
Az első háromszögben az alapon fekvő szögeket jelöljük –val.
A másikban pedig –val.
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.
Így van ez az ABC háromszögben is.
Ez a C pont lehet bárhol a köríven…
A C-ben lévő szög mindig derékszög lesz.
Erről szól a Thalész-tétel.
Thalész-tétel:
Ha az AB szakasz egy kör átmérője, és C a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az ACB-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az AB szakasz a körív bármely harmadik C pontjából derékszögben látszik.
És most nézzük, hogy mi történik akkor, ha az AB szakasz nem átmérő…
Van itt ez a kör és benne egy AB húr.
Most válasszunk egy tetszőleges pontot a nagyobbik AB köríven.
Az ACB-szöget kerületi szögnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a C pontból az AB szakasz szögben látszik.
A kerületi szögek tétele azt mondja, hogy ez a szög a nagyobbik körív bármely pontjában ugyanakkora.
És a hozzá tartozó középponti szög mindig kétszer akkora.
Ugyanez elmondható a kisebbik körívről is.
És van itt még egy dolog.
Ahogy ez a rajzon is látszik, a nagyobbik és a kisebbik körívhez tartozó kerületi szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
A nagyobbik körív az szögű látókörív.
Ennek minden pontjából az AB szakasz szögben látszik.
A kisebbik körív a szögű látókörív.
Ennek pontjaiból az AB szakasz szögben látszik.
Ez eddig mind nagyon érdekes, de most már lássuk végre, hogy mire lehetne használni.
Nos, meg lehet előzni vele veszélyes járványok terjedését…
Ja, nem, azt mégse.
Viszont megtudhatunk egy érdekes dolgot a húrnégyszögekről.
A húrnégyszög olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
Innen ered az elnevezése is – hihetetlenül frappáns.
Ez itt például egy húrnégyszög.
És itt látható a húrnégyszögek egyik fontos tulajdonsága: a szemközti szögeinek összege mindig 180 fok.
A dolog fordítva is igaz, tehát ha egy négyszögben a szemközti szögek összege 180 fok…
akkor az a négyszög húrnégyszög.
Ennek gyakorlati jelentősége annyi, hogy van körülírt köre.
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be.
Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Kéne ide erről egy ábra.
Az egyik átló átmegy a kör középpontján…
És az egyik oldallal 60 fokos szöget zár be.
A másik átlóval pedig 80 fokosat.
Hát, íme, itt volna az áldozat.
Mivel az átló átmegy a kör középpontján, a Thalész tétel miatt ez a szög derékszög.
És ez is.
Ez jó hír, akkor két szöge már meg is van a húrnégyszögnek.
Nézzük, mi a helyzet a másik kettővel.
Van itt ez a 60 fokos szög…
És a kerületi szögek tétele miatt ez is 60 fokos.
Ez pedig…
Ebben a háromszögben a hiányzó szög…
Ebben a másikban pedig…
Mivel pedig húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok, a negyedik szög…
Hát erről ennyit.
Van itt ez az r sugarú kör.
A kör kerületének a kiszámolására már több ezer éve ez a kis képlet van forgalomban:
A kör területe pedig:
Hogyha például a kör sugara 16 cm…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50o-os középponti szöghöz.
Itt jön aztán egy másik ügy.
Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
Egy szimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
Mivel a trapéz szimmetrikus…
ez a szakasz itt…
ugyanolyan hosszú, mint ez a másik.
Itt jön aztán egy kis Pitagorasz-tétel.
A trapéz területe pedig:
Itt jön egy másik trapéz, aminek a szárai 13 és 15 cm hosszúak, a rövidebbik alap 10 cm trapéz magassága pedig 12cm.
Mekkora a trapéz területe?
Az ilyen feladatoknál az első lépés mindig az, hogy ne essünk pánikba.
Hogyha ezzel megvagyunk, akkor innen már könnyű.
A magasságot mindig úgy érdemes berajzolni, hogy derékszögű háromszögek keletkezzenek.
Most pedig jön két Pitagorasz-tétel.
És a trapéz területe:
És van ez a harmadik trapéz, aminek a területe 108 cm2, az alapjai 24 cm és 3 cm, az egyik szára pedig 10 cm. Mekkora a másik szár?
A trapéz területe:
A trapéz egyik szára 10 cm, ami éppen ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója.
És a trapéz másik szára is egy derékszögű háromszög átfogója…
Hát, ez is megvan.
és 24 cmszimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?
