Integrálás (5,6 pont)

Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény

aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.

Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:

f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.

A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.

Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.

Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.

Lássunk néhány példát.

Itt van mondjuk ez:

Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.

Ilyen függvény van, mégpedig az

Itt jön egy másik:

Olyan függvény is van, aminek deriváltja

Ha még emlékszünk rá

Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az

függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.

lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,

de elég annyit megjegyezni, hogy

Végül lássunk még egyet:

Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?

Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.

És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de

Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.

Sőt itt is, meg itt is.

Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.

A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.

Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t

Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.

Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.

Számoljuk ki például az

görbe alatti területét 0 és 1 között.

Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.

Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.

A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.

Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.

Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen  jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.

A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.

A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.

Itt van mindjárt az xn

Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.

Kis probléma van ugyan, ha

De éppen itt jön a megoldás.

Aztán végre egy biztos pont az életünkben.

A lista elég hosszú lesz.

És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.

Itt az egyik:

 de  

És itt a másik:

Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon

Logikusnak tűnik, hogy

De sajnos van egy kis gond:

Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.

Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.

Mondjuk ezen lehet segíteni.

Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel

akkor az integrálásnál szorozni kell -val

Vegyük például ezt:

Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.

Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.

Most pedig jöjjenek az izgalmak!

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.

Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.

Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.

A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.

Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:

Itt jön a primitív függvény:

És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.

Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

A terv a következő:

Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,

aztán a sárga függvény területét is,

végül a kettőt egymásból kivonjuk.

Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.

Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.

Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.

A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,

oldalai pedig x=a és x=b.

Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,

sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.

Az ilyen normáltartományok területe:

vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,

akkor fordítva.

Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

Először kiszámoljuk a metszéspontokat,

aztán jöhet az integrálás.

Van itt egy függvény,

amihez érintőt húzunk az x=3-nál.

Így keletkezik két tartomány.

Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,

a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.

Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.

Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.

Szerencsére éppen itt jön:

Most pedig térjünk a tárgyra.

A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.

Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:

A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.

Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.

Most pedig lássuk a területeket.

A keresett terület:

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk

Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.

És valószínűleg ez sem az lesz:

Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.

De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.

Vannak aztán egészen trükkös esetek is.

Na ennyit a feldarabolásról.