- Komplex számok
- Polinomok, polinomosztás, polinomfüggvények
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Rekurzív sorozatok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorok összege és sorok konvergenciája
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Polinomok, polinomosztás, polinomfüggvények
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Függvények paritása
Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = f(x) \)
Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = - f(x) \)
Polinomfüggvény
Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.
A polinomfüggvény általános alakja:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
\( f(x)=x^2 \)
\( f(x)=x^3 \)
\( f(x)=x^4 \)
\( f(x)=x^5 \)
Végezzük el az alábbi polinomosztásokat.
a) \( \frac{x^5-3x^4+9x^3+7x^2+5x+9}{x^4-4x^3+9x^2} \)
b) \( \frac{x^4-5x^3+7x^2+5x-24}{x-3} \)
c) \( \frac{2x^4+5x^2+6}{x^2+x+1} \)
Alakítsuk szorzattá a $p(x)=x^4+4x^3+3x^2-x-1$ polinomot, ha tudjuk, hogy az egyik gyöke $-1$.
Bontsuk elsőfokú tényezők szorzatára a a következő kifejezést:
\( p(x)=x^3-4x^2+x+6 \)
Bontsuk elsőfokú tényezők szorzatára a következő kifejezést:
\( p(x) = x^3+4x^2+6x+4 \)
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
