\( \int f \left( g(x) \right) \cdot g'(x) = F \left( g(x) \right) + c \)
Ez a tétel az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.
Érdemes még néhány speciális esetet megjegyeznünk:
\( \int e^g \cdot g' = e^g +c \qquad \int a^g \cdot g' = \frac{a^g }{\ln{a}} + c \)
\( \int \frac{g'}{1+g^2} = \arctan{g} + c \qquad \int \frac{g'}{\sqrt{1-g^2}} = \arcsin{g} + c \)
Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int e^{\sin{x}} \cdot \cos{x} \; dx = \; ? \)
b) \( \int \cos{\left(x^2+1\right)} \cdot 2x \; dx = \; ? \)
c) \( \int 5^{4x^2+11} \cdot 8x \; dx = \; ? \)
d) \( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int e^{x^4+12x} \cdot \left(x^3+3\right) \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{5^{7\tan{x}}}{\cos^2{x}} \; dx = \; ? \)
c) \( \int \frac{x}{e^{x^2}} \; dx = \; ? \)
d) \( \int \frac{3x^2}{1+x^6} \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int \frac{\cos{x}}{1+\sin^2{x}} \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{5^x}{1+25^x} \; dx = \; ? \)
c) \( \int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} \; dx = \; ? \)
d) \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1-x^{10}}} \; dx = \; ? \)
