Határozzuk meg az alábbi kettős integrál értékét:
a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy $$
b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!
$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx $$
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)=z \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<4 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)
\( D: \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+y^2}<z<\sqrt{3} \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<9 \)
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 3x-2y^3+2 \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{(xy+2)^2} \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( y+e^{3x}-1 \right) \; dydx $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{6y}{ \left( 2x+3y^2+1 \right)^2 } \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( x^2-1 \right) \cdot e^{-3y} \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(6,0), C(3,4), és a D(1,4) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T y^2 \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(5,0), C(4,6), és a D(3,6) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T e^{6x+y} \; dydx $$
Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(2,0), B(4,0), C(0,4), és a D(6,4) pontok által meghatározott trapéz!
$$ \iint_T x+y^2 \; dydx $$
a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D x+4y \; dydx $$
b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D xy \; dydx $$
c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!
$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{1} \int_{y^2}^{1} y \sin{x^2} \; dxdy $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{16} \int_{ \frac{ \sqrt{y}}{2}}^{2} \sqrt[5]{1+x^3} \; dxdy $$
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 0\leq x \quad 0\leq y \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= \frac{x^3y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad x\leq y \quad -\sqrt{3}x\leq y \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= xy \cdot \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 3x^2\leq y^2 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)= xy \)
\( D: x^2-4x+y^2 \leq 21 \)
Számítsuk ki a $ z = \sqrt{x^2+y^2} $ és a $ z=2-x^2-y^2 $ felületek által határolt térrész térfogatát.
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{0}^{2} \int_{ 0 }^{\sqrt{4-y^2}} x^2+y^2 \; dxdy $$
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-x^2} }^{0} \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \; dydx $$
Integráljuk a következő függvényt:
$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-y^2} }^{0} \frac{4\sqrt{x^2+y^2}}{1+x^2+y^2} \; dxdy $$
Végezzük el az alábbi intergálásokat.
a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy $$
b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx $$
c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx $$
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad 4\leq x^2+y^2+z^2 \leq 9 \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= z\cdot \sqrt{x^2+y^2} \)
\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} 5-x^2-y^2 \; dydx $$
Integráljuk a $D: x^2+y^2\leq 9$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+4 \)
Számítsuk ki a $z=\sqrt{x^2+y^2}$ és a $z=6-x^2-y^2$ felületek által határolt térrész térfogatát.
Végezzük el az alábbi intergálásokat.
a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (x+y+z) \; dxdydz $$
b) $$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 1 \; dxdydz $$
Oldjuk meg az alábbi integrált.
$$ \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{-2}^{2} 1 \; dxdydz $$
Integráljuk az origó középpontú $R=5$ sugarú gömbön ezt a függvényt:
\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)
Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:
\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)
Oldjuk meg az alábbi integrált.
\( \int_{0}^{2} \int_{ \frac{y}{2}}^{1} e^{x^2} \; dxdy \)
Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény integrálját azon a véges tartományon, amelyet az adott egyenletű görbék zárnak közre.
\( f(x,y)=2x \cos{y} \quad y=x^2 \quad y+x=6 \quad y=0 \)
Vázoljuk fel az integrálási tartományt, majd számítsuk ki a megadott függvény kettős integrálját!
\( f(x,y)=\frac{8y}{x^3} \quad D=\left\{ (x,y) \in R^2 \; \mid \; 1 \leq x \leq 4 \quad \sqrt{x} \leq y x \right\} \)
Számítsuk ki az $f(x,y)=e^y + x$ kettős integrálját azon a tartományon, melyet az $x$ tengely, az $x=4$ egyenes és az $y=\ln{x}$ függvények határolnak.
