Adjuk meg az x tengelyre való tükrözés mátrixát $R^2$-ben.
a) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,0)$ vektorhoz, az $(1,1)$ vektorhoz, és az $(1,2)$ vektorhoz is az $(1,2)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
b) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,2)$ vektorhoz, az $(5,4)$ vektorhoz, és a $(3,3)$ vektorhoz is a $(2,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
c) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^3$ lineáris transzformáció, mely az $(1,2)$ vektorhoz, a $(2,5,5)$ vektort, és a $(2,1)$ vektorhoz is a $(4,1,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
A $ \varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció az $(1,2)$ és a $(3,4)$ vektorhoz is az $(5,6)$ vektort rendeli. Írjuk fel $\varphi$ mátrixát, majd határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.
Adott egy $ \varphi: R^3 \to R^3$ lineáris transzformáció mátrixa. Határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.
\( \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha
a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
a) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
b) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ 0 \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
c) \( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a\cdot b \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját:
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-c \\ c-a \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Adjuk meg a $R^2$-ben az x tengelyre tükrözés, az origó középpontú $\alpha$-szögű forgatás, és az origóra tükrözés mátrixait.
A sík transzformációi közül melyek dimenzió tartó transzformációk?
Döntsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyek hasonlóak.
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
\( C= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
