Logaritmikus egyenletek

1.

a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)

b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)

c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)

d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)

e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)

f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt, hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

b) Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

c) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?

A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)

d) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)}  = 4 \)

b) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)}  = \log_{2}{5} \)

c) \( \log_{2}{(x+11)} - \log_{2}{(x-2)}  = 3 + \log_{2}{5} \)

d) \( \log_{3}^2{x} - 7\cdot \log_{3}{x}  +12 = 0 \)

e) \( \log_{5}{ \frac{x}{25} } + \log_{5}^2{x} = 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)}  +2 \)

b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \lg{ (x-2) } - \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x \ln{x} - 3x = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \ln^2{x} + \ln{x} - 2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+3)^x } = 4x \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mi az a logaritmus?

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.


Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.

Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.

Valahogy így…

Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.

Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.

Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…

Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.

De így is kijön.

Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…

Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.

64,625 perc

Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

Kezdetben van valamennyi baktérium.

Aztán megduplázódik…

aztán megint megduplázódik.

És így tovább.

A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:

Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.

Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.

Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.

És most nézzük, hogyan tovább.

Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.

Vagyis egy generációs idő hossza…

25,24 perc.

A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

Lássuk, mi történik 40 év alatt:

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.

Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.

Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Itt jön a mi kis képletünk:

30 év alatt 12%-kal csökkent:

Na, ez így sajna nem túl jó…

Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.

A felezési idő tehát 162,7 év.

Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:

377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.

Hát, ennyi.


Logaritmusos egyenletek megoldása

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT