Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( (6-i)^2 z+9+2i^3=\frac{-34i}{5-3i} \)
b) \( 4z^2+4z+17=0 \)
c) \( z^2+6i=0 \)
Végezzük el a következő műveleteket.
a) \( \left( \frac{-9+13i}{4-3i} \right)^{10} \)
b) \( \sqrt[4]{ \frac{16}{2-2i} \cdot (-1-i)^3 } \)
c) \( 2i \cdot ( \cos{80°}+i \sin{80°} ) \cdot \left( \sqrt{5}-i\sqrt{15} \right)^{10} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( \left( z^4-i \right) \cdot \left( z^2+7 \right) = 0 \)
b) \( \left( 2+\sqrt{3}i \right) \cdot z^5 + 2 -\sqrt{3}i = -3 \)
c) \( 2z^6+4\sqrt{2}z^3 +8 = 0 \)
a) Adjuk meg exponenciális alakba: \( -\sqrt{3}+i \)
b) Határozzuk meg az alábbi komplex szám valós és képzetes részének összegét.
\( (1+i)^{12} + \frac{ \sqrt{3} + i }{ (1-i)(\sqrt{3}-i)} \)
c) Adjuk meg a \( \left( \sqrt{2} \frac{i}{1+i} \right)^{999} \) komplex számot kanonikus alakban!
a) Egy a komplex számsíkon elhelyezkedő szabályos háromszög középpontja az origó, egyik csúcsa \( z_1 = 1+i \). Adjuk meg a további csúcsait!
b) Írjuk fel a komplex síkon annak a szabályos háromszögnek a csúcsait algebrai alakban, amelynek középpontja az origó, és egyik csúcsa a \( z_1 = 1+2i \) pont!
c) Adjuk meg az összes olyan komplex számot, amelynek az egyik hetedik gyöke megegyezik az egyik harmadik gyökével!
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( iz^3 = \frac{1}{2} \cdot (1-i)^8 \)
b) \( (1 + i^{1001} + i \cdot z + z)( z^2 + 2z + 10) = 0 \)
c) \( z^6 - \frac{3-i}{2+i}z^2 = 0 \)
d) \( z^6 + 7z^3 - 8 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( z-|z|=1+i \)
b) \( |z| + z = 2+i \)
Hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre
a) $ |z-4i| \leq |z+2| $
b) $ |z-3+i|>2$
c) $ |z+6+3i|>|2z|$
Végezzük el az alábbi műveleteket.
a) \( (1+i)^6=? \)
b) \( \left( 1- \sqrt{3}i \right)^3 (-1+i)^2 = ? \)
Adjuk meg a $z=1+\sqrt{3}i$ komplex szám ötödik gyökét.
\( z=1+i \qquad z^4 =? \)
Adjuk meg a 8-adik egységgyököket
Mennyi lesz az $n$-edik egységgyökök szorzata és összege?
Oldjuk meg a $z_1 \cdot z_2 \cdot z^3-(z_1 + z_2)=0$ egyenletet a komplex számok halmazán, ahol $z_1=-4-4i$ és $z_2=8(\cos{90°}+i \sin{90°})$.
Adottak a $z_1=e^{i \frac{\pi}{2}}$, $z_2=4\sqrt{2}(\cos{225°}+i\sin{225°})$, és $z_3=1+i$ komplex számok. Végezzük el a következő műveletet.
\( \sqrt{\frac{z_2}{z_3}} \)
Adottak a $z_1=e^{i \frac{\pi}{2}}$, $z_2=4\sqrt{2}(\cos{225°}+i\sin{225°})$, és $z_3=1+i$ komplex számok. Végezzük el a következő műveletet.
\( 3z_1 - \overline{z_2} \)
Van itt két komplex szám: $z_1=4+3i$, $z_2=1+2i$.
˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \)
Van itt két komplex szám: $z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$.
˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 - z_2 = ? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \qquad \frac{z_1}{z_2}=? \)
Vonjunk a $z=1-\sqrt{3}i$ komplex számból harmadik gyököt.
