a) \( \lim{ \left( \frac{n+4}{n-5} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-5} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{3n+4} \right)^n } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+3n}{n^2+4n} \right)^{4n-7} } = ? \)
e) \( \lim{ \left( \frac{3n^2+2n^3}{5n^2+2n^3} \right)^{6n+4} } = ? \)
Adjunk meg két olyan végtelenbe tartó sorozatot, amelyek különbsége
a) konvergens
b) divergens
c) a különbség határértéke 42
d) a különbség határértéke mínusz végtelen
Adjunk meg egy nullához és egy végtelenhez tartó sorozatot, amelyek szorzata
a) 42-höz tart
b) mínusz végtelenbe tart
c) nullához tart
d) végtelenbe tart
Adjunk meg két olyan sorozatot, hogy mindkettő végtelenbe tart, és a hányadosuk
a) végtelenbe tart
b) 42-höz tart
c) nullához tart
Adjuk meg a torlódási pontokat, ha \( a_n = \cos{ \left( n \frac{\pi}{2} \right)} + \frac{1}{n} \)
a) \( \lim{ n^5+4n^3+12n }= ? \)
b) \( \lim{ n^5-4n^3-12n }= ? \)
c) \( \lim{4n^3+n^2-n^5+16 } = ?\)
d) \( \lim{ \sqrt{4n^3+5}-n^4 } = ?\)
e) \( \lim{ \sqrt{4n^2+5n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)
f) \( \lim{ \sqrt{3n^2+4n}-\sqrt{3n^2+7}}= ? \)
a) Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén lesz a következő sorozat határértéke 0, \( + \infty \), \( - \infty \) vagy 42?
\( a_n = \sqrt{An^2+Bn} - \sqrt{n^2+2} \)
b) Az \( A \) és \( B \) paraméterek különböző értékeire mennyi lesz a határérték?
\( \lim{ \frac{2n+1}{An-\sqrt{n^2+Bn}}} \)
a) \( \lim{ \frac{2^n-4\cdot 3^{n+2}}{5\cdot 3^{n-1} +2^{n+5} } } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{5^n-4\cdot 6^{n+2}}{ 3^{2n+1}+5^{n+2} } } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{ \left( (-1)^n +4 \right)^n -2 \cdot 3^{n+2}}{ 4 \cdot 3^{n+1} + 2^{-n}} } = ?\)
a) \( \lim{ \left( \frac{ 6^n-3\cdot 5^{n+2} }{ 5\cdot 7^n +3^{2n+1} } + \frac{ \sqrt{n^2+3}+n}{ \sqrt{n^3+n^2}} \right) } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{ 2^{2n+1} + (-3)^n + 9 \cdot 6^n +20 }{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+2} + 5^{n-2} + (-1)^n} } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{3^{-n}+4}{4^{-n}+3} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{ \left( n^3+2n^2 \right)^2 }{ n^2 \left( n^2+10 \right)^2} } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{3n^3+8}{2n^3+13} \right)^2 } = ?\)
c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 4^{n+1}-5}{2^{2n+1}+1} }} = ? \)
d) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2+4n-6}{n^3-5} \right)^3 } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2+9n^3-6}{3n^3+5n} \right)^2 } = ?\)
f) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2-4n-6}{2n^2-7} \right)^{12} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{1+2+3+\dots + n}{n^2+4n+5} } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{2+4+6+\dots + 2n}{3n+1} -n } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{n! (1+2+3+\dots+n)}{(n+2)!} } = ?\)
d) \( \lim{ \frac{ (1+2+3+\dots+2n)n! }{ (n+2)!(1+2+3+\dots+n) } } = ?\)
e) \( \lim{ \frac{ (1+2+3+\dots+n^2)n!}{(n+3)!} - \frac{1+2+3+\dots+n}{n+1} } = ?\)
f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
a) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{3n+5}{3n+1} \right)^n } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{5-2n}{1+2n} \right)^{n-7} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{3-2n}{5-2n} \right)^{n+6} } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{12n+n^2}{2n+n^2} \right)^{ \frac{n-5}{2} } } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{n-2n^2}{7n+2n^2} \right)^{n-12} } = ?\)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n^2+7}{2n^2-5} \right)^{n^2} } = ?\)
a) \( \lim{ \left( \frac{\sqrt{n}-2}{\sqrt{n}+2} \right)^\sqrt{n} } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n^3+7}{2n^3-5} \right)^{\frac{n^3}{4}} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+(-1)^n\cdot 7n}{n^2-5n} \right)^n } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{2n+5}{2n-3} \right)^{ \frac{4n-5}{3} } } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{12n+n^3}{5n+n^3} \right)^{ \frac{n^2-4}{7} } } = ?\)
f) \( \lim{ \left( \frac{4n+5}{4n} \right)^{-3n+4} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{3n^2+5n-6}{n^3-5} }= ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} }= ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{5n^2+n-1}{n^2+n} } = ?\)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ?\)
e) \( \lim{ \frac{(-1)^n \cdot n^2+n}{n^2+1} }= ? \)
a) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)
b) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)
c) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)
d) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)
e) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
c) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} } } = ? \)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ? \)
c) \( \lim{ \frac{(-1)^n n^2 +3n + (-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}n^3 + n^2 + (-1)^n n} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt{n-5} - \sqrt{2n+4} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt{n^2+7} - \sqrt{n^2+3n} } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{2n^2-5} - \sqrt{2n^2+3n-4} } = ? \)
d) \( \lim{ \frac{1}{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } }= ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2-8} - \sqrt{n^2+3n-4} }{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } } = ? \)
b) \( \lim{ n^2 \left( \sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2+5n} \right) } = ? \)
c) \( \lim{ n \left( \sqrt{n^2-9} - \sqrt{n^2+n-4} \right) } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^3+7} -n^2 +n }{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4} } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4-8n} + n^2+3n }{ \sqrt{9n^4+1}-\sqrt[3]{n^5+n^4}+n-n^2 } }= ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 4^{n+1}-5 }{ 2^{2n+1}+1 } } } = ? \)
d) \( \lim{ \sqrt[3]{ \frac{ 24n^5-12n^3+3n }{ 7n-n^2-3n^5 } } } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2+9n^3-6 }{ 3n^3+5n } \right)^2 } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2-4n-6 }{ 2n^2-7 } \right)^{12} } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 20n^3-4n }{ 5n^3+10n^2 }}} = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{ \sqrt{n}-2 }{ \sqrt{n}+2 } \right)^\sqrt{n} } = ? \)
d) \( \lim{ \left(\frac{ 2n^3+7}{2n^3-5}\right)^{\frac{n^3}{4}} } = ?\)
e) \( \lim{ \left(\frac{ 6n+n^2}{2n+n^2}\right)^{\frac{n+3}{2}} } = ?\)
a) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
b) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{3n+1} \right)^{n} } = ?\)
c) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{7+2n}{1-2n} \right)^{n-5} } = ?\)
d) \( \lim{ \left(\frac{ 5-2n}{1-2n}\right)^{n+3} } = ?\)
e) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{4n+5}{4n} \right)^{-3n+4} } = ?\)
f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n-3} \right)^{\frac{4n-5}{3}} } = ?\)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ 6^n - 4^n - 3^n}{5^n -4^n -3^n} } }= ?\)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n +n! +3^n}{5^n +4^n} } }= ?\)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n - n! - 5^n}{7^n -6^n -5^n} }} = ?\)
d) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 13+5}{5n+2} \right)^n + n \cdot 5^n }} = ?\)
e) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+4}{3n+1} \right)^n + n \cdot 2^n }} = ?\)
f) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+5}{3n-2} \right)^n - n \cdot 3^n }} = ?\)
a) \( \lim{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} } = ?\)
b) \( \lim{ \left( 1 + \frac{n}{n^2+1} \right)^{n} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n} } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n^2} } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{(n+2)!}{n! \cdot n^2} \right)^{n} } = ?\)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^2 } = ? \)
c) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^4 } = ? \)
d) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{n} \right)^n } = ? \)
e) \( \lim{ \left( 1+\frac{4}{n^3} \right)^{n^3} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{2n} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{n+7}{n-5} \right)^n } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)^{3n-7} } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{2n + (-1)^n}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)
e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{5^n+4^n+3^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{4^n+3^n}{n^3+n^5+1} }} = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n-4^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-4^n-3^n-2^n}{n^4+n^3-n} }} = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+6}{n^2} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+12}{n^2+5} \right)^n } = ? \)
Adjuk meg az alábbi határérték értékét.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-2} \right)} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim \sqrt[n]{2^n+3^n+1} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+n} \right)} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n^2+1}{2n^2-3} \right)^{5n^2} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n+2}{2n+3} \right)^{n\sqrt{n}+5n} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{3^n+2^n}{2^n-3^n} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{2^n+3^n}{3^n-2^n} } \)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{5}{n+\sqrt[n]{n}} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{3n}{n^2+1} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+5}{n^2+5} \right)^n } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{3^n+4n^5+n+1}{n^4+4n^6+n^n} }} = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{n^n+5^n+4n^3}{n^4+4^n} }} = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{n^n-3^n-4n^5}{4\cdot n^6+9^n} }} = ? \)
Nézzük meg ennek a sorozatnak a torlódási pontjait:
a)
\( a_n=\left( 1+\frac{1}{2} \cdot (-1)^n \right)^n \)
b)
\( a_n = \frac{ \left( 4+(-1)^n \right)^n + 2^{n+3}}{4\cdot 5^n+12} \)
\( \liminf{a_n}=? \qquad \limsup{a_n}=? \)
c)
\( a_n= \{ 1,2,3,1,2,3,1,2,3, \dots \} \)
\(b_n =\frac{ \left( a_n+1 \right)^n}{4^n} - \frac{3^n}{ \left( a_n +2 \right)^n} \)
\(\liminf{b_n}=? \qquad \limsup{b_n}=? \)
d)
\( a_n=\left( (-1)^n + \sin{\left(n \frac{\pi}{2} \right)} \right) \cdot \sqrt{ \frac{4n+1}{n+4} } \)
\(\liminf{a_n}=? \qquad \limsup{a_n}=? \)
a) \( \lim{\frac{2n^3-1}{n^3+6n^2+2}} = ? \)
b) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)
a) \( \lim{ \left( 4n^3+5n^2+n^4 \right) } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 4n^3+5n^2-n^4 \right) } = ? \)
c) \( \lim{ \left( 5^n+6^n-7^n \right) } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \sqrt{4n^6+3n^4}+\sqrt{5n^4+n^3} \right) } = ? \)
e) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-3n^2+5}-\sqrt{n^4+2n} \right) } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-3n^2+5}-\sqrt{n^3+2n} \right) } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-3n^2+5}-\sqrt{n^4+2n} \right) } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 \right) } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-5n^2+4}-n^2 \right) } = ? \)
e) \( \lim{ \left( \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} \right) } = ? \)
