Regisztráció

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Küszöbindex és monotonitás

1.

Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ennek a sorozatnak a határértéke \(\frac{1}{7}\) és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n=\frac{n+1}{7n+2} \)

2.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{3n^3+8}{2n^3+13} \)

b) \( a_n =\frac{4^{n+1}-1}{2^{2n}} \)

3.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozat monotonitását és korlátosságát.

\( a_n = \frac{7n^2-1}{7n^2+1} \)

4.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{4^{n+1}-5}{2^{2n+1}+1} \)

b) \( a_n =\frac{2^{2n+1}}{4^{n+1}+3 } \)

5.

a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n=\frac{4n^8+5}{n^8+4} \)

b) Igazoljuk, hogy ez a sorozat plusz végtelenbe tart, és adjuk meg az \(M=10^2\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n=\sqrt[4]{5\cdot n^3+6} \)

6.

a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ennek a sorozatnak a határértéke \(\frac{3}{2}\) és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+5} \)

b) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n=\frac{4n^3+5}{n^3+4} \)

7.

a) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)

b) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.

\( a_n =(-1)^n \cdot \sqrt[3]{\frac{n^4-5}{5\;000\;000-n^6}} \)

8.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.

a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)

b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)

c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)

d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)

9.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)

c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)

10.

A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \frac{n^8-5n^4-6}{2n^8+n} \to \frac{1}{2} \)

11.

a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \frac{n^5+3n^4+2n}{4n^5+12} \to \frac{1}{4} \)

b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \sqrt[3]{\frac{n^4+4n^3+n^2-5}{n^5+4}} \to 0 \)

c) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat divergens, és a határértéke végtelen. Adjunk meg minden \(M\)-hez \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \frac{5n^8+7n^4-6n}{n^5+4n^3+5n+1}\)

12.

a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \sqrt{n^4+4n}-\sqrt{n^4+3} \to 0 \)

b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.

\( a_n = \sqrt{\frac{9n^2+1}{n^2+n}} \to 3 \)

13.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{3n^2-7}{2n^2+5} \)

b) \( a_n = \frac{n^2+n}{2n^2+1} \)

14.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = (-1)^n \frac{n+1}{n^2+1} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+2}{n+3} \)

15.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+5}{n+1} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{5}{n^2+1} \)

16.

Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha

\( a_n = \frac{3n+2}{5n-1} \)

17.

Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha

\( a_n = \frac{2n^2+5}{n^2-3} \)

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!