Barion Pixel Függvények határértéke és folytonossága | mateking
 

Függvények határértéke és folytonossága

1.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ x^2} $$

b) $$ \lim_{ x \to 3}{ x^2} $$

c) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^2-4}{x-2} } $$

d) $$ \lim_{ x \to 3}{ \frac{x^2-3x}{x^2-9} } $$

2.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \frac{3x^2+5x-6}{x^3-5} } $$

b) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \frac{2x^3+1}{x^2+6x} } $$

c) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \left( \frac{x+7}{x-5} \right)^x } $$

d) $$ \lim_{ x \to \infty}{ \left( \frac{2x^2+9x^3-6}{3x^3+5x} \right)^4 } $$

3.
4.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 1}{ \frac{x^2+7x+12}{4x^2-16x+12} } $$

b) $$ \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2+1}{x^2-25} } $$

c) $$ \lim_{ x \to 4}{ \frac{x^2+5}{(x-4)^2} } $$

d) $$ \lim_{ x \to 1}{ \frac{x^4-1}{x^3-1} } $$

5.

a) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=\frac{1}{4}$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ 4x^2-9x+2 }{ 4x^2-x }, &\text{ha } x\neq 0 \quad x \neq \frac{1}{4} \\ -7, &\text{ha } x=\frac{1}{4} \end{cases} \)

b) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=\frac{2}{3}$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ 3x^2-2x }{ 3x^2+x-2 }, &\text{ha } x\neq -1 \quad x \neq \frac{2}{3} \\ 2, &\text{ha } x=\frac{2}{3} \end{cases} \)

6.

a) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=1$ és $x=6$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-3x-18 }{ 2x-12 }, &\text{ha } x\neq 1 \quad x \neq 6 \\ 5, &\text{ha } x=1 \\ \frac{9}{2}, &\text{ha } x=6 \end{cases} \)

b) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=3$ és $x=4$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ 3x^2-x-24 }{ x^2-7x+12 }, &\text{ha } x\neq 3 \quad x \neq 4 \\ 7, &\text{ha } x=3 \\ \frac{5}{4}, &\text{ha } x=4 \end{cases} \)

7.

a) Megadható-e az $A$ és $B$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=2$ és $x=5$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ 3x^2-8x+4 }{ x^2-7x+10 }, &\text{ha } x\neq 2 \quad x \neq 5 \\ A, &\text{ha } x=2 \\ B, &\text{ha } x=5 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ és $B$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=-2$ és $x=3$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2+x-12 }{ x^2-x-6 }, &\text{ha } x\neq -2 \quad x \neq 3 \\ A, &\text{ha } x=-2 \\ B, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)

8.

a) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=2$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} x^2-1, &\text{ha } x \leq 2 \\ 2-3x, &\text{ha } x>2 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=1$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{Ax^2-Ax}{2x^2-5x+3}, &\text{ha } x < 1 \\ \sqrt{x^3+x+7}, &\text{ha } x\geq 1 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=4$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{3x^2-7x-20}{x^2-9x+20}, &\text{ha } x < 4 \\ A \cdot \frac{8x^2-2x^3}{x^4-16x^2}, &\text{ha } x>4 \end{cases} \)

9.

a) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy létezzen véges határérték az $x=3$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{3x^2+x-30}{x^2-10x+21}, &\text{ha } x <3 \\ A\cdot \frac{9x^2-3x^3}{x^4-3x^3}, &\text{ha } x>3 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=-5$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{2x^2+5x-25}{x^2+x-20}, &\text{ha } x < -5 \\ A+\text{sgn} x, &\text{ha } x=-5 \\ \frac{x^3-25x}{4x+20}, &\text{ha } x>-5 \end{cases} \)

10.

a) Folytonos-e az alábbi függvény az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{x} + \sin{2x} }{ x^2 + \sin{3x} }, &\text{ha } x \neq 0 \\ 5, &\text{ha } x=0 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{x+\sin{x}}{\tan{x}}, &\text{ha } x < 0 \\ A, &\text{ha } x=0 \\ \frac{x^2-x}{x^2+3x}, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

11.

a) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} e^\frac{ -1 }{ x }, &\text{ha } x \neq 0 \\ A, &\text{ha } x=0 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} e^\frac{ 1 }{ 1-e^x }, &\text{ha } x \neq 0 \\ A, &\text{ha } x=0 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{1-e^{ \frac{-1}{x} }}, &\text{ha } x \neq 0 \\ A, &\text{ha } x=0 \end{cases} \)

12.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{4x^2-3x-10}{3x^2-8x+4} } $$

b) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^2+1}{x^2+x-6} } $$

13.

a) Megadható-e az $A$ és $B$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=-1$ és $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-1 }{ 3x+3 }, &\text{ha } x<-1 \\ Ax+B, &\text{ha } -1 \leq x \leq 0 \\ \frac{x- \sin{2x}}{x+\sin{x}}, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=0$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2+\sin^2{x} }{ x^3-\tan{(4x^2)} }, &\text{ha } x<0 \\ A, &\text{ha } x=0 \\ \frac{x^2-\sin{(3x)^2}}{ \sin^2{2x}+3x }, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=4$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{x-4}+x^2-16 }{ \tan{(x^2-16)} }, &\text{ha } x<4 \\ 12A, &\text{ha } x=4 \\ -24\frac{16x^2-4x^3}{ x^4-64 }, &\text{ha } x>4 \end{cases} \)

15.

Milyen \( A \) paraméter esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=4 \) helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2-16 }{ x^2-5x+4 }, &\text{ha } x\neq 1 \; x \neq 4 \\ Ax+1, &\text{ha } x=4 \end{cases} \)

16.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=3 \) és \( x=4 \) helyeken?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ (x-4)} }{ x^2-7x+12 }, &\text{ha } x\neq 3 \; x \neq 4 \\ A, &\text{ha } x=3 \\ B, &\text{ha } x=4 \end{cases} \)

17.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén tehető folytonossá az alábbi függvény az \( x=3 \) és \( x=4 \) helyeken?

\( f(x)= \begin{cases} x\cdot \arctan{ \frac{1}{x^2-4x} }, &\text{ha } x\neq 0 \; x \neq 4 \\ A, &\text{ha } x=0 \\ B, &\text{ha } x=4 \end{cases} \)

18.

Állapítsuk meg az alábbi függvényről, hogy folytonos-e.

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ x^2}{e^x+1}, &\text{ha } x\leq 0 \\ \frac{ \sin{x} + \sin{2x}}{x \cdot \cos{x}}, &\text{ha } 0<x \end{cases} \)

20.

Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén lesz folytonos az alábbi függvény?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ \left( \pi \cdot \sqrt[3]{x^4} \right)} }{ 1-\cos{ \sqrt[3]{x^2}} }, &\text{ha } x<0 \\ Ax+B, &\text{ha } 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^2-x^4}{x^2-1}, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)

23.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} } $$

b) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3} } $$

c) $$ \lim_{ x \to -3}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} } $$

d) $$ \lim_{ x \to -4}{ \frac{4x^2+7x-15}{x^2+7x+12} } $$

e) $$ \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2-1}{(x-5)^2} } $$

f) $$ \lim_{ x \to 5}{ \frac{x^2-26}{(x-5)^3} } $$

24.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin{ \left( \pi \cdot \sqrt[4]{x^3} \right) } }{ \sqrt[4]{x^3} }, &\text{ha } x<0 \\ \frac{ x^4-16 }{x^3-4x}, &\text{ha } x>0 \end{cases} \)

29.

Hol és milyen típusú szakadása van ennek a függvénynek?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{ \sin^2{x} }{ 1-\cos{x} }, &\text{ha } x<0 \\ \arctan{ \frac{x}{x-1} }, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ A(x+\ln{x}), &\text{ha } 1\leq x < 2 \end{cases} \)

31.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{3x^3-12x^2}{x^4-16x^2} } $$

b) $$ \lim_{ x \to 4}{ \frac{16x^2-x^4}{4x^3-16x^2} } $$

c) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{x^4-16}{x^3-8} } $$

d) $$ \lim_{ x \to 3}{ \frac{x^4-3x^3}{x^4-5x^3+7x^2+5x-24} } $$

32.

a) Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{4x^2-9x-9}{x^2-7x+12}, &\text{ha } x\neq 3 \quad x\neq 4 \\ 17, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)

b) Adjuk meg az $A$ és $B$ paramétereket úgy, hogy az aábbi függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

\( f(x)= \begin{cases} \frac{3x^2-16x+20}{x^2-5x+6}, &\text{ha } x\neq 2 \quad x\neq 3 \\ A, &\text{ha } x=2 \\B, &\text{ha } x=3 \end{cases} \)

c) Folytonossá tehető-e az alábbi függvény az x=1 és az x=3 helyen?

\( f(x)= \frac{ (x-1)(12x-4x^2)}{(x-1)(3-x)^4} \)

33.

Döntsük el, hogy az alábbi függvények mely $x$-ekre folytonosak.

a) \( f(x)= \begin{cases} -2x+1, &\text{ha } x<-2 \\ x^3, &\text{ha } -2 \leq x \leq 2 \\12-x^2, &\text{ha } 2<x \end{cases} \)

b) \( f(x)= \begin{cases} e^x+1, &\text{ha } x\leq 0 \\ \frac{x^4-4x^2}{x^3-2x^2}, &\text{ha } 0 < x < 2 \\x^6-7x^3, &\text{ha } 2\leq x \end{cases} \)

34.

a) Folytonos-e a következő függvény az $x=2$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} 15-x^2, &\text{ha } x\neq 2 \\ 2x+3, &\text{ha } x>2 \end{cases} \)

b) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=1$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{Ax^2-Ax}{3x^2-7x+4}, &\text{ha } x<1 \\ \sqrt{4x^3+3x+9}, &\text{ha } x\geq 1 \end{cases} \)

c) Megadható-e az $A$ szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az $x=3$ helyen?

\( f(x)= \begin{cases} \frac{9Ax-Ax^3}{x^2-7x+12}, &\text{ha } x<3 \\ -36, &\text{ha } x=3 \\ \frac{x^2+1}{3-x}, &\text{ha } 3<x \end{cases} \)

35.

Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.

a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{\sin{(x-2)} }{x-2} } $$

b) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{2x} }{ x} } $$

c) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{2x}+\sin{3x} }{ 5x+\sin{4x}} } $$

d) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{5x}+\sin{4x} }{ 4x^2-16\sin{3x}} } $$

e) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{ x^2-16x \sin{x} }{ 1-\cos{x}+\sin^2{x} } } $$

f) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{ \tan{x}-\sin{x} }{ x^3 } } $$

36.

Folytonosak-e az alábbi függvények?

a) \( f(x)= \begin{cases} \frac{\cos{x}-\cos^2{x}}{x^2}, &\text{ha } x<0 \\ \frac{x-2}{x^2-4}, &\text{ha } 0 \leq x < 2 \\ \frac{1}{4}(x-1)^{12}, &\text{ha } 2\leq x \end{cases} \)

b) \( f(x)= \begin{cases} \frac{1-\cos{x}}{x}, &\text{ha } x<0 \\ x^6+5x^4, &\text{ha } 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^4-x^2}{x^3-x}, &\text{ha } 1< x \leq 2 \\ e^{x-2}+1, &\text{ha } 2<x \end{cases} \)

37.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} e^x+1, &\text{ha } x\leq 0 \\ x+1, &\text{ha } 0<x<1 \\ x^2, &\text{ha } 1 \leq x \end{cases} \)

38.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} e^x, &\text{ha } x\geq 0 \\ x^2+1, &\text{ha } x<0 \end{cases} \)

39.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} 1-x, &\text{ha } x\geq 0 \\ x^2+1, &\text{ha } x<0 \end{cases} \)

40.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ x^2+x+1} - \sqrt{x^2+1} \right) \)

41.

Döntsük el, hogy az $f(x)$ függvény mely $x$-ekre folytonos.

\( f(x)= \begin{cases} x^2, &\text{ha } x<1 \\ 2-x^2, &\text{ha } x\geq 1 \end{cases} \)

43.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+ \infty} \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^{x^2+5} \)

44.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+\infty} \left( \frac{2x+1}{2x-4} \right)^{\frac{x}{3}+2} \)

45.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{+\infty} \frac{2x^3-3x^2+6x+1}{(2x-1)^3} \)

46.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^5+6x^2-1}{2x^3+4x^5+x+3} \)

47.

Adjuk meg az alábbi határérték értékét.

\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^5+3x^2+2}{2x^5+4x^3+1} \)