a) Vizsgáljuk meg, hogy $V$ altere-e $R^3$-nak, ha igen, adjuk meg a dimenziószámát és egy bázist $V$-ben.
\( V= \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3: 3x-7y+4z=0 \right\} \)
b) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^4$-nek, ha igen, adjuk meg a dimenziószámát és egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in R^4: 5x_1-8x_2+4x_3-x_4=0 \right\} \)
Legyenek $\underline{u}$, $\underline{v}$ és $\underline{w}$ lineárisan független vektorok $R^n$-ben. A $p$ valós paraméter milyen értékeire teljesül, hogy az $\underline{a}=\underline{u}-\underline{v}$, $\underline{b}=\underline{u}+\underline{w}$, $\underline{c}=\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}$, $\underline{d}=p\cdot \underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$ vektorok szintén lineárisan függetlenek?
Döntsük el, hogy az $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ vektorokból álló vektorrendszer bázis-e $R^3$-ban, és ha igen, akkor határozzuk meg a $\underline{d}$ vektor koordinátavektorát eszerint a bázis szerint.
\( \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
\( \underline{c}=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Határozzuk meg az alábbi, $R^3$-beli vektorok generált alterét. Amennyiben ez az eltér egyenes vagy sík, adjuk meg az egyenletét vagy egyenletrendszerét.
a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 13 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \)
b) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -12 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} \)
Adjunk meg $R^4$-ben egy, az $\underline{u}$, $\underline{v}$, és $\underline{w}$ vektorokat tartalmazó bázist, majd írjunk fel ebben a bázisban az $\underline{a}$ koordinátavektorát.
\( \underline{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)
\( \underline{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 11 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.
\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)
Töltsük ki az alábbi táblázatot.
vektorok száma | megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen $R^3$-ban | megadható-e ennyi vektor, hogy generátor-rendszer legyen $R^3$-ban |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 |
Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c} \in R^n$ vektorok. Az alábbi állítások közül melyik igaz?
a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.
b) Ha $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
c) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{c}-\underline{a}$ is lineárisan független.
d) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ is lineárisan független.
e) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.
f) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
a) Bontsuk fel a $\underline{v}$ vektort az $\underline{a}, \underline{b}$ és $\underline{c}$ vektorokkal párhuzamos komponensekre.
\( \underline{v}= \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
b) Egy síkban vannak-e az $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ vektorok?
\( \underline{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \)
a) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^3$-nak, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a+1 \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)
b) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^4$-nek, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \; \Bigg| \; \begin{matrix} a,b,c,d \in R \\ a=b \\ \text{és} \\ c=3d \end{matrix} \right\} \)
Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ $R^n$-beli vektorok. Az alábbi állítások közül melyek igazak?
a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan független.
b) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan összefüggő, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan összefüggő.
c) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
d) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
Vizsgáljuk meg, hogy $W \subset V$ halmaz altére-e $V$-ben. Ha igen, adjunk meg a dimenzióját és egy bázisát.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a-b \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)
Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.
\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Döntsük el, hogy vektorteret alkotnak-e...
a) Harmadfokú polinomok a valós számok felett.
b) Legfeljebb harmadfokú polinomok.
c) Azok a polinomok, amiknek az x=2 gyöke.
d) Azok a legfeljebb harmadfokú polinomok, amiknek az x=2 és az x=3 is gyöke.