Barion Pixel Vektorterek, független és összefüggő vektorok | mateking
 

Vektorterek, független és összefüggő vektorok

4.

Határozzuk meg az alábbi, $R^3$-beli vektorok generált alterét. Amennyiben ez az eltér egyenes vagy sík, adjuk meg az egyenletét vagy egyenletrendszerét.

a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 13 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \)

b) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -12 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} \)

8.

Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.

\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)

9.

Töltsük ki az alábbi táblázatot.

vektorok száma megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen $R^3$-ban megadható-e ennyi vektor, hogy generátor-rendszer legyen $R^3$-ban
1
2
3
4
5
10.

Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c} \in R^n$ vektorok. Az alábbi állítások közül melyik igaz?

a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.

b) Ha $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.

c) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{c}-\underline{a}$ is lineárisan független.

d) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ is lineárisan független.

e) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.

f) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.

11.

a) Bontsuk fel a $\underline{v}$ vektort az $\underline{a}, \underline{b}$ és $\underline{c}$ vektorokkal párhuzamos komponensekre.

\( \underline{v}= \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

b) Egy síkban vannak-e az $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ vektorok?

\( \underline{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \)

12.

a) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^3$-nak, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.

\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a+1 \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)

b) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^4$-nek, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.

\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \; \Bigg| \; \begin{matrix} a,b,c,d \in R \\ a=b \\ \text{és} \\ c=3d \end{matrix} \right\} \)

13.

Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ $R^n$-beli vektorok. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan független.

b) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan összefüggő, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan összefüggő.

c) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.

d) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.

14.

Vizsgáljuk meg, hogy $W \subset V$ halmaz altére-e $V$-ben. Ha igen, adjunk meg a dimenzióját és egy bázisát.

\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a-b \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)

15.

Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.

\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \)

17.

Döntsük el, hogy vektorteret alkotnak-e...

a) Harmadfokú polinomok a valós számok felett.

b) Legfeljebb harmadfokú polinomok.

c) Azok a polinomok, amiknek az x=2 gyöke.

d) Azok a legfeljebb harmadfokú polinomok, amiknek az x=2 és az x=3 is gyöke.