Regisztráció

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Kétváltozós függvények

Deriváljuk a következő függvényeket.

a) $ f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 $

b) $ f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 $

Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!

Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 $

10.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 $

11.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} $

12.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^3+y^3-3xy $

13.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} $

14.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 $

15.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!

$ f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 $

16.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!

$ f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 $

17.

Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!

18.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?

19.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?

20.

Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

a) $ f(x,y)=x^4+y^4-4xy $

b) $ f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} $

21.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$

b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$

22.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$

b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$

23.

$f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.

24.

Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$

b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$

25.

a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!

b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?

26.

Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.

27.

Adjuk meg az $f(x,y)=2x \ln{ \left( x^2-xy^2-4 \right) }$ függvény totális deriváltját a $P(5,2)$ pontban.

28.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

$ f(x,y)=yx^5-2xy^3+4x-5 $

29.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

$ f(x,y)=x^3-3xy^2-5y+e^{2x} $

30.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\arctan{\left( y^x \right) }$ gradiensét a $P_0 (1,2)$ pontban.

31.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\sin{ \left( \ln{\left( y^x \right) } \right)}$ gradiensét a $P_0(3,1)$ pontban.

32.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\cos{ \ln{ \left( x^y \right)} }$ gradiensét a $P_0(7,1)$ pontban.

33.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 $

34.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+20 $

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!