Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 5 \left( \frac{3}{4} \right)^n \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{-2} \right)^n $$
Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!
a) \( f(x)=e^{x-3} \)
b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)
c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)
d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)
e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)
f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)
Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!
a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$
Számoljuk ki 0,05-nél kisebb hibával, mennyi $ \sqrt{2} $
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)
b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)
c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\arctan{(4x)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x+2)} \)
c) Adjuk meg az $ f(x)=\ln{(2x+5)} \; x_0=2 $ közepű és $x_0=-3 $ közepű hatványsorát!
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\arctan{(x+1)} \)
b) \( g(x)=\ln{(x+4)} \)
c) \( h(x)=\frac{1}{(x+4)^2} \)
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)
b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)
c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)
Adjuk meg az alábbi függvények hatványsorát!
a) \( f(x)=\sqrt[3]{1+x} \)
b) \( f(x)=\sqrt[4]{16-x^2} \)
c) \( f(x)=\sqrt{9x^4-5x^6} \)
d) \( f(x)=\frac{4x^3}{\sqrt[4]{16-3x^6}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \ln{ \left(1+\frac{1}{n} \right) } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sqrt[3]{n+1} }{\sqrt{n}+1} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^3+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{10^n}{n^10} \qquad \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 1 }{ \ln{n} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}+1}{n+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(-2)^n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} 4 \frac{3^n}{(-2)^{2n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} 6\cdot \frac{5}{4^{n+1}} \cdot 3^{n-1} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n+4^n+5^n}{6^n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin{n}}{n^2} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-2)^{n+1} }{n+5^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt[n]{10} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln{n}}{n-\ln{n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-100)^n}{n!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\ln{n}}{\ln{n^2}}\right)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n^2+4}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x+3)^n}{5^n} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{4^n(n^2+1)} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} (2x+5)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-\pi)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{n^2}}{(n+3)^{n^2}}x^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( (n+3)^n \cdot x \right)^n}{ (n+5)^{n^2}} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln{n}}{\sqrt{n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + \sqrt{n}}{ n^4-n^3+\sqrt[3]{n}} $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1) } $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2-1 } $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2+16n+15 } $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1)(n+2)} $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{ 2^n } $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Adjunk $\cos{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\cos{0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\sin{0,3}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\sin{1})^{2n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(\tan{1})^{2n}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2^n \cdot n! }{ 3^{n-1} \cdot n^{n+1} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan^2{n} }{n^2+1} \)
Adjuk meg a sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 9 \cdot 2^{2n-1}}{5^{n-1}} \)
Állapítsuk meg az alábbi sor összegét.
\( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{4}{n^2-1} \)
Döntsük el, hogy konvergens-e a következő végtelen sor.
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n \in \mathbb{N}^{+}} \frac{ \sin^n{\left( 2n^2 \right)}}{n^3} \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{n+2}{n+3} \right)^n \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{n^2+3+7^n}{2+2^{2n}} \)
Adjuk meg a pontos értékét az alábbi sornak.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} \)
Amennyiben konvergens, úgy adjuk meg a végtelen sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5\cdot 6^{n+1}}{e^{2n}} \)
Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0=1$ helyen.
\( f(x)=\frac{4}{3x+2} \)
Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0= \frac{1}{4} $ helyen.
\( f(x)=\frac{1}{2-4x} \)
Írjuk fel a másodfokú Taylor polinomját az $x_0=3$ helyen.
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{3x+7}} \)
Határozzuk meg az alábbi függvény $x_0=0$ körüli Taylor-sorfejtését, Taylor-sorának konvergenciasugarát és az $f^{100}(0)$ deriváltat.
\( f(x)= \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} \)
Konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok?
a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
b) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
c) \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \)
