Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)
b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=2\sqrt{x} \quad g(x)=\frac{x^2}{4} \)
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=(x-1)^2 \quad g(x)=2-(x-1)^2 \)
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=-x^2+18 \quad g(x)=x^2 \)
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=\sqrt{x+5}$ függény grafikonja, az $x=-1$ pontban húzott érintő és az $x$ tengely határol!
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=-x^2-6x-5$ függény grafikonja az $x$ tengellyel bezár.
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amelyet az $f(x)=\ln{x}$ függvény grafikonja, az $x_0=e$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $x$ tengely határol!
Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=x^2-7x+14$ függvény grafikonja, a függvény grafikonjához az $x_0=4$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $y$ tengely határol!
Mekkora az a terület, amit az $f$ függvény és a koordinátatengelyek határolnak?
\( f(x)=\frac{x}{e^{x^2}} \)
Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=\sqrt{x+2}$ és $g(x)=\sqrt{3x-12}$ függvények grafikonjai és az $x$ tengely határol.
a) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.
b) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.
Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.
a) \( \int_1^\infty \frac{5}{x^4} \; dx = \; ? \)
b) \( \int_{-\infty}^1 e^{2x-2} \; dx = \; ? \)
c) \( \int_{-\infty}^\infty \frac{4x^3}{ \left( x^4+1 \right)^4} \; dx = \; ? \)
d) \( \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} } \; dx = \; ? \)
Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az x tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 1-ig.
Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az y tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 3-ig.
Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:
\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)
Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx = 0$ teljesüljön!
Végezzük el az alábbi határozott integrálást.
\( \int_{1}^{2} \frac{5x^2}{1+x^3} \; dx \)
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=6x-x^2 \qquad g(x)=x^2-2x \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{0}^{2} \frac{1}{2-x} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{2}^{\infty} \frac{4}{x^3} \; dx \)
Számítsuk ki az improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{-\infty}^{1} \frac{7}{7x+11} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{1}^{2} \frac{x^{-1}}{\ln{x}} \; dx \)
Integrálható-e az alábbi függvény:
\( f(x) = \begin{cases} 0 & \text{ha x irracionális} \\ 1 & \text{ha} \; x=\frac{p}{q} \; \text{ahol a tört tovább nem egyszerűsíthető} \end{cases} \)
Végezzük el az alábbi improprius integrálásokat
a) \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \; dx \)
b) \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx \)
Döntsük el, hogy konvergens vagy divergens.
a) \( \int_{1}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x^2} \; dx \)
b) \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \; dx \)
c) \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\tan{x}} \; dx \)
Végezzük el az alábbi improprius integrálásokat.
a) \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \; dx \)
b) \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx \)
c) \( \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{1-4x}} \; dx \)
d) \( \int_{0}^{\infty} x \cdot e^{-4x} \; dx \)
e) \( \int_{0}^{1} x \cdot \ln{x} \; dx \)
f) \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx \)
