Regisztráció

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Kétváltozós függvények

Deriváljuk a következő függvényeket.

a) $ f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 $

b) $ f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 $

a) Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!

b) Deriváljuk $x$ és $y$ szerint:

$x^3+e^y+\ln{z}=z^2+e^x$

Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} $

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 $

10.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 $

11.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} $

12.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^3+y^3-3xy $

13.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} $

14.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 $

15.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!

$ f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 $

16.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!

$ f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 $

17.

Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!

18.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?

19.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?

20.

Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

a) $ f(x,y)=x^4+y^4-4xy $

b) $ f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} $

21.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$

b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$

22.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$

b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$

23.

$f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.

24.

Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$

b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$

25.

a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!

b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?

26.

a) Számoljuk ki a $\underline{v}=(3,4)$ iránymenti deriváltját a $P(2,1)$ pontban ennek a függvénynek:

$ f(x,y)=x^4+xy^3+y^5 $

b) Számoljuk ki a $\underline{v}=(2,2,1)$ iránymenti deriváltját a $P(3,5,4)$ pontban ennek a függvénynek:

$ f(x,y)=x^4+y^4+x\cdot z^2$

27.

Adjuk meg az $f(x,y)=2x \ln{ \left( x^2-xy^2-4 \right) }$ függvény totális deriváltját a $P(5,2)$ pontban.

28.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

$ f(x,y)=yx^5-2xy^3+4x-5 $

29.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

$ f(x,y)=x^3-3xy^2-5y+e^{2x} $

30.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\arctan{\left( y^x \right) }$ gradiensét a $P_0 (1,2)$ pontban.

31.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\sin{ \left( \ln{\left( y^x \right) } \right)}$ gradiensét a $P_0(3,1)$ pontban.

32.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\cos{ \ln{ \left( x^y \right)} }$ gradiensét a $P_0(7,1)$ pontban.

33.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 $

34.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

$ f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+20 $

35.

a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 $ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjait.

b) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4$ függvény másodrendű deriváltjait.

36.

a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+4x^2y^3+y^2 $ függvény deriváltvektorát vagy gradiensét.

b) Számoljuk ki ennek a kétváltozós függvénynek a gradiensét vagy deriváltvektorát a $P(2,3)$ pontban:

$ f(x,y)=3x^4-y^3+x^3y^2$.

c) Van itt ez a háromváltozós függvény:

$ f(x,y,z)=x^4-y^3+z^2+x \cdot z^3$

Számoljuk ki a deriváltvektorát a $P(3,2,4)$ pontban.

37.

a) Számoljuk ki a $P=(0,1)$ pontban milyen irányban emelkedik a legmeredekebben az $f(x,y)=y^4 \cdot e^x - \ln{y}$ függvény felülete és mekkora ez az emelkedés.

b) Az $f$ függvény által megadott felületre a $P=(3,6)$ pontban függőlegesen cseppentünk egy vízcseppet. Milyen irányban indul el a vízcsepp a felületen?

$ f(x,y)=x^4 \cdot e^{2x-y}+y^2 $

38.

a) Számoljuk ki az $f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x}$ függvény iránymenti deriváltját a $\underline{v}=(3,4)$ irány szerint az $(1,2)$ pontban.

b) Milyen irányban emelkedik a legmeredekebben, és melyik irányban lesz éppen nulla az iránymenti deriváltja a $P(2,5)$ pontban ennek a függvénynek:

$f(x,y)=\sqrt[3]{x^4+8y^2} $

c) Számoljuk ki az iránymenti deriváltját ennek a függvénynek is a $P\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ pontban a $\underline{v}=(1,2)$ irány szerint.

$f(x,y)=\tan{(2x+3y)}$

39.

Adjuk meg az alábbi kétváltozós függvények $x$ és $y$ szerinti deriváltjait.

a) $ f(x,y)=x^4+e^y+\ln{y}+\sin{x}+\cos{y}+\tan{y} $

b) $ f(x,y)=x^y $

c) $ f(x,y)=\ln{y} \cdot \left( x^3+y^4 \right) + e^x \cdot \left( x^2 + y^2 \right) $

d) $ f(x,y)=\ln{\left( x^4+y^3 \right)} + e^{xy^2} + \sqrt[5]{x^6+e^y} $

40.

a) Adjuk meg az $ f(x,y)=16-x^2-y^2 $ függvény $P(1,2)$ ponthoz tartozó $x$ szerinti, $y$ szerinti és $z$ szerinti szintvonalait.

b) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^2 \cdot y^3 + x \cdot \ln{y} + y^5 $ függvény $P(4,1)$ ponthoz tartozó $x$ szerinti, $y$ szerinti és $z$ szerinti szintvonalait.

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!