Adjuk meg az x tengelyre való tükrözés mátrixát $R^2$-ben.
Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.
a) \( A= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
A bázis transzformáció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
A Gauss elimináció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -6 & 1 \end{pmatrix} \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \)
Számoljuk ki az $A$ mátrixhoz és $\underline{x}$ vektorhoz tartozó kvadratikus alakokat.
a) \( A= \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)
c) Adott a $Q(\underline{x})$ kvadratikus alak, határozzuk meg ebből az $A$ mátrixot.
\( Q(\underline{x})=5x^2_1 -2 x^2_2+4x^2_3+8x_1x_2+7x_1x_3-6x_2x_3 \)
Döntsük el az alábbi kvadratikus alakok definitségét.
a) \( Q(\underline{x})= 3x^2_1+4x^2_2+9x^2_3+4x_1x_2+2x_1x_3+10x_2x_3 \)
b) \( Q(\underline{x})= -5x^2_1-2x^2_2-8x^2_3+6x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3 \)
Számítsuk ki az alábbi mátrix determinánsát.
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & -2 & -5 \\ -4 & -1 & 5 & 7 \\ 6 & 6 & 3 & -4 \end{pmatrix} \)
Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha
a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.
a) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
c) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
a) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
b) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ 0 \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
c) \( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a\cdot b \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Az alábbi mátrixnak milyen $p$ paraméter esetén létezik inverze, milyen $p$ paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen $p$ paraméterre lesz az $A \cdot \underline{x}=\underline{0} $ egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & p \end{pmatrix} \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével.
\( 3x_1+2x_2-x_3=4 \)
\( x_1+x_2+x_3=7 \)
\( 2x_1+x_2+2x_3=10 \)
Adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját:
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Számításaink során a bázis transzformációt használjuk.
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-c \\ c-a \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Adjuk meg a $R^2$-ben az x tengelyre tükrözés, az origó középpontú $\alpha$-szögű forgatás, és az origóra tükrözés mátrixait.
a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Számításaink során a Gauss eliminációt használjuk.
A bázis transzformáció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A sík transzformációi közül melyek dimenzió tartó transzformációk?
A Gauss elimináció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Döntsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyek hasonlóak.
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
\( C= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
