Sorozatok határértéke (emelt szint)

1.

\( \lim{\frac{2n^3-1}{n^3+6n^2+2}} = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)

b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)

c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)

d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)

e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)

f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.

a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)

c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)

d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)

e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)

f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)

c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)

d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)

e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5.

a) \( \lim{ \frac{3n^2+5n-6}{n^3-5} }= ? \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} }= ? \)

c) \( \lim{ (-1)^n \frac{5n^2+n-1}{n^2+n} } = ?\)

d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ?\)

e) \( \lim{ \frac{(-1)^n \cdot n^2+n}{n^2+1} }= ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6.

a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)

b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)

c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7.

a) \( \lim{ \frac{2^n-4\cdot 3^{n+2}}{5\cdot 3^{n-1} +2^{n+5} } } = ?\)

b) \( \lim{ \frac{5^n-4\cdot 6^{n+2}}{ 3^{2n+1}+5^{n+2} } } = ?\)

c) \( \lim{ \frac{ \left( (-1)^n +4 \right)^n -2 \cdot 3^{n+2}}{ 4 \cdot 3^{n+1} + 2^{-n}} } = ?\)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

c) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} } } = ?  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Sorozatok, Sorozatok határértéke, Határérték és műveletek, Összeg határértéke, Szorzat határértéke, Hányados határértéke. Sorozatok határértékének kiszámolása, rengeteg példa sorozatok határértékének kiszámolására: Polinom/polinom típusú sorozatok határértéke, Exponenciális sorozatok határértéke, Gyökös sorozatok határértéke, Nevezetes sorozatok határértéke, Határértékszámítás szabályai.Konvergens és divergens sorozatok. Megmutatjuk, mit jelent az, hogy egy sorozat konvergens és mit jelent az, hogy divergens. Határérték, Határértékkel rendelkező sorozatok, Határértékkel nem rendelkező sorozatok, Oszcilláló sorozatok, Oszcillálva konvergens és oszcillálva divergens sorozatok.Gyökös sorozatok határértéke, A nevező gyöktelenítése, A legmagasabb fokú tag megtalálása. Sorozatok határértékének kiszámolása, rengeteg példa sorozatok határértékének kiszámolására: Polinom/polinom típusú sorozatok határértéke, Exponenciális sorozatok határértéke, Gyökös sorozatokhatárértéke, Nevezetes sorozatok határértéke, Határértékszámítás szabályai.



Sorozatok határértéke

Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.

Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.

Íme itt is van egy sorozat.

Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.

index

A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.

Ez a sorozat például közeledik a nullához.

Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.

A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.

És így jelöljük:  vagy így:

Itt jön egy másik sorozat.

Ez a sorozat még inkább nullához tart.

Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.

Aztán itt vannak ezek a sorozatok.

Nos ők a végtelenbe tartanak.

NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI

Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.

Ők is végtelenbe tartanak.

És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az

Ha  akkor

sehova

Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.

Ha mondjuk  és  akkor logikusnak tűnik, hogy

De az élet sajnos ennél bonyolultabb.

Előfordulhat ugyanis, hogy  és .

Hova tart ilyenkor az összegük?

Nos a helyzet az, hogy az  sorozat tarthat mínusz végtelenbe,

egy konkrét számhoz

és plusz végtelenbe.

A  sorozat szintén.

Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.

Nézzük meg őket.

Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.

Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.

Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.

Lehet mínusz végtelen is

lehet 42 is

és lehet plusz végtelen is

A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.

Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.

Itt sajnos kicsit sok eset lesz.

Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.

A folytatás már nem túl izgalmas:

Aztán végre néhány egyértelmű eset:

Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.

Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.

Mindjárt az első:

De van még.

Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.

A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.

Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a  esettel.

HA k KONKRÉT SZÁM

Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.


Hogyan kell kiszámolni a határértéket?

Itt jön egy ilyen eset:

A trükk az, hogy leosztjuk –el.

A számlálót is és a nevezőt is.

Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.

Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.

Nézzünk meg egy másikat is.

Végülis osszuk le ezt is -el.

Lássuk mi jön ki.

A számláló 4-hez tart.

A nevező nullához.

Nos ez baj.

A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.

Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.

Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.

Először átalakítunk.

Aztán leosztunk.

A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.

Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

Van itt ez az n2,

de köbgyök alatt van.

Aztán itt van ez az n3,

de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.

Végül itt van ez az n,

na úgy tűnik ő nyert.

A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.

De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.

A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.


Konvergens, divergens és oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Konvergens

sorozatok

Divergens

sorozatok

Van

határérték

Nincs

határérték

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

A divergenciának azonban vannak fokozatai.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,

és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.

A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.

Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.

Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,

nos itt jön egy másik.

Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.

Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.

Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:

ha n páros

ha n páratlan

Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.

Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.

Az összeadásnál ez nem okoz problémát.

A kivonásnál…

se, ha nem rontjuk el.

És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.

Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,

így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.


Gyökös sorozatok

Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.

Itt jön egy másik.

Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

És most lássunk valami egészen érdekeset.

Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.

Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…

   jelre.

 ugyanis szintén  de

Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.

Innentől már a szokásos.

Itt jön aztán még egy:

És még egy:

Ha itt összeadás van, akkor kész is.

De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.


FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke

FELADAT | Sorozatok határértéke