Középiskolai matek
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Síkgeometria
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték és a szórás
- Statisztika
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Algebra, nevezetes azonosságok
1.
\( 8:2\cdot (2+2) = ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Végezzük el a műveleteket!
a) \( x^3 \left( a^4 -2x^2 +4a^4 +x \right) \)
b) \( \left( x^3 +2a^2 \right) \left( 5a^4 -2x^2 +x \right) \)
c) \( \frac{4}{x-5} - \frac{x}{x+3} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Emeljünk ki mindent, amit lehet
a) \( 3x^4-5x^3+6x^2 \)
b) \( 3a^4b-x^2a^3b+5a^2b^4 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5.
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( (x+3)^2= ? \)
b) \( (y-5)^2= ? \)
c) \( \left( 2x+3y^2 \right)^2 = ? \)
d) \( \left( 3a^2-ab^3 \right)^2 = ? \)
Alakítsuk szorzattá:
e) \( x^2-36 = ? \)
f) \( x^4 - 9y^2 = ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( 12x + 3x^2 - 4x^3 - 7x - x^4 + x^3 \)
b) \( 4x(5x^4 + 3x^2) - (4x^2 +5)(x+6) \)
c) \( (3x^4 +4x +x^3 y^2 ) \cdot x^2 + (4x^3 +5x^2y^4 + x^3 y^2 ) : x^2 \)
d) \( x^2 \cdot (3x^4 +4y^5 +6 z^3) \)
e) \( x^2 \cdot (3x^4 \cdot 4y^5 \cdot 6z^3) \)
f) \( \left( \frac{1}{x^2+2xy+y^2} + \frac{1}{x^2-y^2} + \frac{1}{x^2-2xy+y^2} \right) : \left( \frac{4x^2}{x^2-y^2} -1 \right) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \)
b) \( \frac{ 2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} + \frac{ \sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac{4x-2}{x-1} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8.
a) \( (x+2)^3= ? \)
b) \( (x-4b)^3 = ? \)
c) \( \left( \frac{x+y}{x^3-y^3} + \frac{2}{(x-y)^2} - \frac{1}{x^2+xy+y^2} \right) : \frac{x^2-4y^2}{x^2-2xy+y^2} = ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9.
a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?
b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?
c) Mennyi $(x+3)^8$-nál az $x^6$-os tag együtthatója?
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Mi az értelmezési tartományuk?
a) \( \frac{3}{x} \)
b) \( \frac{x}{x-2} \)
c) \( \frac{5}{(x-2)\cdot (x+3)} \)
d) \( \frac{1}{x^2-4} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Végezzük el az alábbi műveleteket
a) \( \frac{x-3}{2}+\frac{x+2}{4}-\frac{x-1}{4} \)
b) \( \frac{x+1}{x}-\frac{2x}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{x}+\frac{3}{2x} \)
d) \( \frac{x}{4} \cdot \frac{8}{x} \)
e) \( \frac{2x^2}{y^3} : \frac{6x}{y^5} \)
f) \( \frac{a+b}{a} : \frac{a^2-b^2}{a^3} \)
Itt mindent megtudhatsz az algebra alapjairól, a műveletekről, a műveleti sorrendről, a zárójelek használatáról és a zárójelek felbontásáról. Nagyon szemléletesen bemutatjuk, hogy mit jelent a tag és a tényező, mi a különbség köztük és azt is láthatod, hogy mennyi tévedéstől tudod megkímélni magad, ha tisztában vagy ezekkel. Az algebra a matematikának az a területe, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Ezekkel a betűs kifejezésekkel kapcsolatban sok izgalmas dolgot fogunk megnézni. Az első ilyen izgalmas dolog a kiemelés. Sok-sok példát nézünk kiemelésre, hogy biztosan minden érthető legyen. Megnézheted, mit jelent az egyszerűsítés, mit szabad és mit nem szabad csinálni törtek egyszerűsítésénél. Megnézzük, hogy mik azok az algebrai törtek, hogyan lehet őket egyszerűsíteni, hogyan lehet szorzatokat csinálni a számlálóban és a nevezőben. Algebra gyakorló feladatok megoldással. Nevezetes azonosságok, a+b és a-b négyzete, két négyzet különbségének szorzattá alakítása. Feladatok a nevezetes azonosságok alkalmazásával.
Az a három pont, ahol az függvény grafikonja a koordinátarendszer tengelyeit metszi egy háromszöget határoz meg. Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
Kezdjük azzal, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Ezt a legkönnyebb kiszámolni.
Egyszerűen csak be kell helyettesíteni x helyére nullát.
Most nézzük, hol metszi a grafikon az x tengelyt.
Ezt zérushelynek nevezzük, és úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük a függvényt nullával...
Aztán megoldjuk szépen ezt az egyenletet.
Hát, ennek a háromszögnek a területét kellene kiszámolnunk.
Egy másodfokú függvény az y tengelyt 4-ben metszi, és ezen kívül azt tudjuk, hogy az 5-höz 4-et rendel, a 6-hoz pedig 10-et. Adjuk meg a függvény zérushelyeit.
A másodfokú függvények általános alakja ez:
És itt c azt mondja meg, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Most éppen 4-ben…
A függvény az 5-höz 4-et rendel…
A 6-hoz pedig 10-et.
És most jöhet a zérushely.
Ezt úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük a függvényt nullával...
Aztán megoldjuk ezt az egyenletet.
A függvénynek két zérushelye van, 1-ben és 4-ben.
Most pedig nézzük, mire használhatnánk ezeket a lineáris függvényeket, jóra vagy rosszra…
Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, a 4-hez pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
A hozzárendelési szabály ez.
Hát, ezzel megvolnánk.
Itt jön aztán egy újabb izgalmas kérdés. Van ez a lineáris függvény:
És derítsük ki, hogy hol metszi a koordinátatengelyeket a függvény grafikonja.
Ha szeretnénk tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az x tengelyt, akkor y helyére kell nullát írni.
Ha pedig azt szeretnénk tudni, hogy hol metszi az y tengelyt, akkor x helyére.
Úgy tűnik, hogy ezek nem életünk legnehezebb egyenletei…
A metszéspontok x=2 és y=4.
A két pont alapján a függvény grafikonját is be tudjuk rajzolni.
Ezeknél nagyobb izgalmakra ne is számítsunk.
De azért itt jön egy újabb ügy.
Itt egy lineáris függvény, és számoljuk ki a meredekségét, valamint azt, hogy hol metszi a grafikonja a koordinátatengelyeket.
Kezdjük a metszéspontokkal.
Amikor az x tengelyt metszi, akkor y=0:
Amikor az y tengelyt metszi, akkor x=0:
A két pont alapján a grafikont is be tudjuk rajzolni.
És ebből a meredekséget is ki tudjuk deríteni.
De itt jön a meredekség kiszámolására egy rajzmentes módszer is:
Az emelt szintű érettségi sikeres teljesítéséhez ennyit bőven elég tudnod az integrálásról.
Hogyha azonban bővebben érdekel a téma, szeretnéd tudni, hogy mi az a parciális integrálás, hogyan működik a helyettesítéses integrálás, milyen magasabb szintű integrálási módszerek vannak, hogyan számolunk térfogatot és felszínt az integrálás segítségével, akkor az Analízis 1 tantárgyunkban egyetemi szintű feladatokkal folytathatod a tanulást.
Végül nézzünk meg egy utolsó kis történetet.
Van itt ez a lineáris függvény, amiről tudjuk, hogy a zérushelye x = 4 és az x = –2 helyen a függvény 3-at vesz föl.
A zérushely azt jelenti, hogy hol metszi a függvény az x tengelyt.
Hát itt.
Aztán van még ez is.
Ezek alapján be is rajzolhatjuk a függvény grafikonját.
A rajz alapján pedig…
Ha nem rajongunk a rajzokért…
akkor megoldhatjuk máshogy is.
A –2 helyen 3-at vesz föl…
És 4-ben pedig nullát.
