Logaritmikus egyenletek

1.

a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)

b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)

c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)

d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)

e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)

f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt, hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

b) Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

c) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?

A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)

d) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)}  = 4 \)

b) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)}  = \log_{2}{5} \)

c) \( \log_{2}{(x+11)} - \log_{2}{(x-2)}  = 3 + \log_{2}{5} \)

d) \( \log_{3}^2{x} - 7\cdot \log_{3}{x}  +12 = 0 \)

e) \( \log_{5}{ \frac{x}{25} } + \log_{5}^2{x} = 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket

a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)}  +2 \)

b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \lg{ (x-2) } - \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( x \ln{x} - 3x = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \ln^2{x} + \ln{x} - 2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+3)^x } = 4x \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Oldjuk meg az alábbi egyenletet

\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt gyorsan és szuper-érthetően megnézheted, hogy mi az a logaritmus, hogyan oldhatunk meg logaritmikus egyenleteket, milyen kikötések kellenek a logaritmusra, és milyen logaritmus azonosságok vannak. Aztán jön néhány szöveges feladat, amiket a logaritmus segítségével lehet megoldani.



Mi az a logaritmus?

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.


Logaritmusos egyenletek megoldása

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.

Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.

Valahogy így…

Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.

Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.

Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…

Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.

De így is kijön.

Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…

Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.

64,625 perc

Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

Kezdetben van valamennyi baktérium.

Aztán megduplázódik…

aztán megint megduplázódik.

És így tovább.

A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:

Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.

Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.

Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.

És most nézzük, hogyan tovább.

Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.

Vagyis egy generációs idő hossza…

25,24 perc.

A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

Lássuk, mi történik 40 év alatt:

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.

Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.

Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Itt jön a mi kis képletünk:

30 év alatt 12%-kal csökkent:

Na, ez így sajna nem túl jó…

Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.

A felezési idő tehát 162,7 év.

Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:

377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.

Hát, ennyi.