Lineáris függetlenség, bázis, rang

VEKTORTEREK

Elérkezett az idő, hogy tisztázzunk néhány fontos fogalmat.

Az első és legfontosabb fogalom a vektortér fogalma, ami tulajdonképpen vektoroknak egy olyan halmaza, amely teljesít néhány speciális tulajdonságot.

Kétféle műveletet értelmezünk, egy összeadást és egy számmal való szorzást.

Az összeadás művelet szereplői vektorok, míg a számmal való szorzásnál egy vektort szorzunk meg egy számmal.

Ezek a bizonyos számok lehetnek valós számok, ilyenkor a vektorteret valós számok feletti vektortérnek nevezzük, de lehetnek például komplex számok is, és akkor a vektortér komplex feletti.

A kétféle műveleten kívül a vektortérben egyéb művelet nincsen, tehát nem értelmezzük a vektorok egymással való összeszorzását, sem a skaláris szorzatot sem pedig a diadikus szorzatot.

A kétféle művelettel kapcsolatban teljesülnie kell további tulajdonságoknak, amiket vektortér-axiómáknak nevezünk. Ezek jönnek most.

A  nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha

a  halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli  és  vektorhoz hozzárendelünk egy  vektort, ami szintén eleme -nek.

    1. Az összeadás kommutatív: bármely ;   -beli vektorra

    2. Az összeadás asszociatív: bármely ; ;   -beli vektorra

    3. Létezik nullelem: van olyan   -beli vektor, hogy bármely   -beli vektorra

    4. Létezik ellentett: bármely   -beli vektorra létezik olyan   -bel vektor, hogy

és értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli  vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy  vektort, ami szintén -beli.

    5. A skalárszoros asszociatív: bármely   -beli vektorra és ;  skalárra

    6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely ;   -beli vektorra és  skalárra

    7. A skalárszoros disztributív a skalárokra bármely   -beli vektorra és ;  skalárra   

    8. Egységszeres: bármely   -beli vektorra és az 1 valós számra

A valós számok feletti vektorteret -el szokás jelölni, ahol ez a bizonyos n a vektorok koordinátáinak a számára utal.

Egy síkban elhelyezkedő vektorok két koordinátával is megadhatók, ezért minden sík egy  vektortér.

A térbeli vektoroknak már három koordinátájuk van, így a tér .

Vannak persze háromnál több koordinátával rendelkező vektorok is, ezek geometriai megfelelői azonban a mi kis háromdimenziós világunkban nehezen elképzelhetők.

Érdemes azonban elgondolkodni azon, hogy egy sík vektorainak nem szükségszerűen csak két koordinátájuk lehet.

Megadhatjuk őket három vagy akár négy koordinátával is legfeljebb bizonyos koordináták nullák. A koordináták száma tehát csak a lehetőséget teremti meg az új irányok számára.

Ez elvezet bennünket két nagyon fontos fogalomhoz is, az egyik a dimenzió a másik az altér.

Az altér arról szól, hogy nem használjuk ki a vektorok összes koordinátáját, míg a dimenzió éppen a maximálisan kihasználható koordináták száma.

Például azok a vektorok -ban, amelyek harmadik koordinátája nulla egy altér, ráadásul kétdimenziós altér, mert két koordinátát használunk.

Mindezt jóval precízebben és matematikailag

megfogható módon is képesek leszünk meg-

fogalmazni, de ehhez előbb szükségünk

van néhány alapvető fontosságú

fogalom tisztázására.

Ezek jönnek most.

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK

Kezdjük két izgalmas definícióval. Először lássuk mit is akarnak ezek pontosan, aztán rögtön nézünk is rájuk példákat, hogy mindez érthető is legyen.

A  vektorok lineárisan függetlenek, ha

csak úgy teljesül, ha minden

A  vektorok lineárisan összefüggők, ha

úgy is teljesül, hogy van olyan

Nézzünk ezekre példákat! Itt vannak mondjuk ezek a vektorok:

Nézzük meg, hogy ezek a vektorok melyik típusba tartoznak, vagyis hogyan lesz

Ha mindegyik  akkor persze a nullvektort kapjuk.

Az már érdekesebb, hogy ha      akkor

nos akkor is a nullvektort kapjuk.

Tehát úgy is ki tud jönni a nullvektor, ha nem minden , sőt most éppen egyik se. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ezek a vektorok lineárisan összefüggők.

Ennek az a nagyon egyszerű magyarázata, hogy a harmadik vektor az első kettő összege.

Vagyis a harmadik vektor a másik két vektor segítségével előállítható, összefügg velük.

Ezt a tényt nevezzük úgy, hogy a vektorok lineárisan összefüggők és ezért kaphatunk nullvektort úgy, hogy nem mindegyik .

Vannak aztán olyan vektorok is, amik nem függnek össze.

Nézzük meg, mi a helyzet ezekkel:

Az, hogy ha mindegyik vektorból nullát veszünk, most is nullvektort kapunk nem túl meglepő.

Ami érdekesebb, hogy ezúttal semmilyen más esetben nem kaphatunk nullvektort.

Ha például az első vektorból nem nullát veszünk, biztosan nem kaphatunk nullvektort.

Nézzük meg! Vegyünk belőle mondjuk 6-ot.

A második és harmadik vektor első koordinátája nulla, ők tehát nincsenek hatással az első koordináta alakulására. A második és harmadik vektorból így vehetünk bármennyit, az első koordináta így is úgy is az lesz, hogy 6.

Ha tehát nullvektort szeretnénk, az első vektorból mindenképpen nullát kell vennünk.

Aztán jön a második vektor. Ha nem nullát veszünk belőle, akkor a második koordinátával adódnak problémák.

Az első és harmadik vektorok ugyanis nincsenek hatással a második koordináta alakulására.

És hasonló a helyzet a harmadik vektorral is. Ezek a vektorok tehát lineárisan függetlenek.

Csak úgy kaphatunk nullvektort, ha mindegyikből nullát veszünk.

Megkérdezhetjük persze, hogy tulajdonképpen miért ennyire fontos ez, hogy mindenféle vektorokból miként állítható elő a nullvektor. A válasz hamarosan kiderül. Nézzük meg a következő képsort!

Egy V vektortérben a  vektorok generátor-rendszert alkotnak,ha minden

 vektor a V vektortérben előáll  alakban.

Vegyük például az  vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret.

Ebben a vektortérben generátor-rendszert alkot a

mert segítségükkel minden vektor előáll.

Nézzük meg! Van itt mondjuk egy vektor

ami valóban előállítható a  vektorokkal.

Bármilyen  vektor előállítható. Ha mondjuk

Akkor íme, már meg is van:

Ha ezekhez a vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk.

Vegyük hozzá mondjuk ezt:

Ha a  vektort eddig elő tudtuk előállítani, akkor ezután is elő tudjuk:

Egyszerűen nullát veszünk az új vektorból, így olyan,mintha az új vektor ott se volna.

Ha viszont az eredeti generátorrendszerből egy vektort elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.

Próbáljuk csak meg a  vektort a megmaradt két vektorból előállítani. Nem fog menni.

Érdemes tehát megjegyezni, hogy egy generátor-rendszerhez újabb vektorokat hozzávéve ismét generátor-rendszert kapunk, ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor már nem biztos.

A kérdés az, hogy -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátor-rendszer. Erről szól a következő remek táblázat.

vektorok

száma

megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen

-ban

megadható-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer legyen -ban

1

2

3

4

5

Egy darab vektor biztosan megadható úgy, hogy független legyen, viszont nem elegendő ahhoz, hogy generáljon.

Ő egymaga, csak egy egyenest képes előállítani.

Két vektor is megadható úgy, hogy független legyen,viszont ezek sem generátor-rendszer.

Ezek ketten egy síkot feszítenek ki.

Vagyis a sík minden vektorát előállítják, de mást nem.

Három vektor még mindig megadható úgy, hogy független legyen, és ahogyan ezt már az előbb láttuk generátor-rendszer is lesz.

Ez a három vektor kifeszíti a teret.

Most vegyünk egy negyedik vektort is.

Mivel az eddigi három vektor generátor-rendszer, így bármi is ez a negyedik vektor, azt ők képesek előállítani.

Vagyis ezek négyen már nem függetlenek, de továbbra is generátor-rendszer.

Ugyanez a helyzet,ha hozzáveszünk még egy ötödik vektort is.

-ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek legyenek,de már generáljanak.

A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.

Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér dimenziója éppen három.

Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk,

független rendszert kapunk

(ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk,

generátor-rendszert kapunk

(ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

Ha -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is

(mert bázis)

Ha -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer,

akkor ezek a vektorok függetlenek is

(mert bázis)

A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg -ben azok a

generátor-rendszerek pedig, amelyek n-nél több vektorból állnak,

minden vektort végtelensokféleképpen

Legyen   -beli vektor. Mely állítások igazak?

a) Ha  lineárisan független, akkor  is lineárisan független.

b) Ha  lineárisan összefüggő, akkor  is lineárisan összefüggő.

c) Ha  generátor-rendszer, akkor  is az.

d) Ha   lineárisan független, akkor  is az

a) Ha  lineárisan független,

akkor  is lineárisan független.

Vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy  mind nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem

mindegyik nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

Mivel az  vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

Úgy néz ki  mind nulla, tehát a vektoraink függetlenek.

b) Ha  lineárisan összefüggő,

akkor  is lineárisan összefüggő.

Nézzük meg elsőként, hogy  függetlenek-e.

Vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy  mind nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem

mindegyik nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

Mivel az  vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

Nézzük meg elsőként, hogy  függetlenek-e.

Vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy  mind nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem

mindegyik nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

Mivel az  vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

Az előzőekben megnéztük mit jelent az, hogy egy vektorrendszer független, mit jelent

az, hogy összefüggő.

Aztán megnéztük mi az a generátor-rendszer.

Kiderült, hogy ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk, szintén generátor-rendszert kapunk. Ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.

Az is kiderült, hogy ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk, akkor továbbra is független rendszert kapunk, de ha újabb vektorokat veszünk hozzá, akkor előbb utóbb a vektorok már összefüggők lesznek.

Mindezt jól szemléltethetjük mondjuk az  vektortérben,

vagyis a hétköznapi értelemben vett térben.

Ha egy független rendszerhez elkezdünk újabb vektorokat hozzávenni, az előbb utóbb összefüggő lesz.

Ha egy generátor-rendszerből elkezdünk vektorokat elhagyni, az előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.

És van egy mágikus pont amikor már éppen elég vektorunk van ahhoz, hogy generáljanak, de még nincsenek túl sokan ezért függetlenek.

Ezt a független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.

A bázis elemszámát pedig a vektortér dimenziójának.

Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok

maximális száma.

-ban a rang például maximum három lehet.

A rang kiszámolására később remek módszereink lesznek majd, jelenleg csak kevésbé megnyugtató módon, ránézésre tudjuk megállapítani.

Van itt például ez a vektorrendszer:

A negyedik vektor az első kétszerese,

így legjobb esetben is három független

vektorunk van.

A harmadik vektor pedig az első kettő

összege, így már csak két független

vektor maradt.

Ezek már függetlenek, tehát a rang 2,

de később lesz egy igazán remek

technológiánk a rang kiszámolására.

Egy vektorrendszer rangja Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok

maximális száma.

BÁZIS=FÜGGETLEN

GENERÁTOR-RENDSZER

A  vektorok lineárisan függetlenek, ha

csak úgy teljesül, ha minden

A  vektorok lineárisan összefüggők, ha

úgy is teljesül, hogy van olyan

Egy V vektortérben a  vektorok

generátor-rendszer, ha minden  vektor előáll

 alakban.

Legyen  vektorok.

Az alábbi állítások közül melyik igaz?

Ha  lineárisan független, akkor

 is lineárisan független.

Nézzük meg, hogy  függetlenek-e.

Vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy  mind nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem

mindegyik nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

Mivel az  vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

[*]

Úgy tűnik  mindegyike nulla, vagyis  lineárisan függetlenek.

Ha  generátor-rendszer,

akkor  is az.

Az  vektorok akkor generátor-rendszer,

ha minden  vektort előállítanak:

A kérdés az, hogy ugyanez a  előáll-e az

 vektorokból is. Nézzük meg!

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

A jelek szerint  előáll.

Ha  lineárisan független, akkor

 is lineárisan független.

Ez egészen biztosan nem igaz, mert

Vagyis van olyan lineáris kombinációjuk,

ami a nullvektort adja, pedig egyik vektorból

sem nulla darabot vettünk.

Ha  lineárisan független, akkor

 is lineárisan független.

Nézzük meg, hogy  függetlenek-e.

Ehhez vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy  mindketten nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges,

hogy az egyik nem nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab  

és hány darab  vektor van.

Mivel az  vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla,

vagyis  és  ami azt jelenti,

hogy  is független.

Ha  lineárisan független,

akkor  is lineárisan független.

Ezúttal a

lineáris kombinációból indulunk ki.

Ezt kéne valahogy visszavezetni az

vektorok lineáris kombinációjára.

De néha nem árt kicsit gondolkodni.

Vegyük ugyanis például azt az esetet, amikor  nullvektor.

Ekkor  és  ezek a vektorok függetlenek, de  egészen biztosan összefüggő, mert köztük van a nullvektor.

Érdemes megjegyezni, hogy ha egy vektorrendszerben benne van a nullvektor, akkor az mindenképpen lineárisan összefüggő.

Ha  generátor-rendszer,

akkor  is az.

Nos az, hogy  generátor-rendszer,

azt jelenti, hogy ők minden vektort előállítanak.

Mivel  vektorokból viszont  és  

előáll, biztos, hogy  generátor rendszer.

Az  vektorokból először legyártjuk

 és  vektorokat, akik pedig, mivel generátor-

rendszer,  már mindenki mást előállítanak.

Vagyis jegyezzük meg, hogy ha egy vektorrendszer vektoraiból elő tudunk állítani generátor-rendszert, akkor maguk a vektorok is generátor-rendszer.

Vizsgáljuk meg, hogy a  halmaz altér-e -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

Elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt kell megnéznünk, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.

Lássuk mi a helyzet a -szorossal!

Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.

A dimenzió annyi, ahány szabadon megadható paraméter van.

Most éppen két szabad paraméter van,  és  

A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.

A bázis tehát:

ALTEREK

A  vektortérnek altere, ha és maga is vektortér a -beli műveletekre.

Az altér tehát egy olyan részhalmaza a vektortérnek, ami a vektortér összes tulajdonságát átörökíti. Teljesülnek benne a vektortér-axiómák és a műveletek.

Van egy érdekes tétel ami megkönnyíti annak eldöntését, hogy egy részhalmaz valóban altér-e. A tétel azt mondja, hogy elegendő csak a műveleteket ellenőrizni és ha azok működnek, vagyis nem vezetnek ki a részhalmazból, akkor ennyi elég is, ahhoz, hogy altér legyen.

A vektortérnek altere, ha -beli műveletek nem vezetnek ki -ből.

Ennek az a magyarázata, hogy ha a műveletek nem vezetnek ki, vagyis  és  is benne van -ben akkor a vektortér-axiómák automatikusan teljesülnek.

nézzük meg!

A kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás a vektortér minden elemére, tehát a -beli elemekre is teljesül. A többi axióma pedig, lássuk csak:

Létezik nullelem -ben.

Hát persze, hogy létezik, mert  benne van -ben és

Létezik ellentett -ben.

Ez is létezik, mert  benne van -ben és

Végül pedig  teljesül -ben,

mert ez ugye az egész vektortér minden elemére igaz.

Ezzel kiderült, hogy valóban elegendő csak annyit megvizsgálni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Nézzünk is meg egy ilyet!

Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.

Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

Hát ez probléma! Az összeadás úgy tűnik kivezet -ből.

A jelek szerint tehát  nem altér.

Nézzünk meg egy másikat is!

Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.

Elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

 itt         

az összegük:

Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.

Lássuk mi a helyzet a -szorossal!

Úgy tűnik ez is stimmel, tehát  altér.

A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma.

Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az és akkor  miatt  már nem szabad, a másik pedig  és akkor  miatt  már nem szabad.

A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.

A bázis tehát:

Vizsgáljuk meg, hogy a  halmaz altér-e -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

Elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt kell megnéznünk, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.

Lássuk mi a helyzet a -szorossal!

Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.

A dimenzió annyi, ahány szabadon megadható paraméter van.

Most éppen két szabad paraméter van,  és  

A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.

A bázis tehát: