Barion Pixel Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze | mateking
 

Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze

1.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)

\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)

\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)

2.

Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

3.

Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

4.

Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

5.

A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

6.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.

7.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.

8.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

9.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

10.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

11.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

12.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

13.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

14.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

15.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

16.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.

\( 2x_1 - x_4 = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

17.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.

\( 2x_1 - x_4 = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

18.

Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.

\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)

\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)

\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)

19.

Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval az alábbi egyenletrendszereket.

a)

\( 2x_1 + 6x_2 -4x_3 = 4 \)

\( 3x_1 + 2x_2 + 8x_3 =27 \)

\( 4x_1 +x_2 -3x_3 = 7 \)

b)

\( 2x_1 + 4x_2 -6x_3-2x_4 = 4 \)

\( 3x_1 + x_2 + 6x_3+2x_4 =16 \)

\( x_1 +7x_2 -18x_3-6x_4 = -8 \)

c)

\( x_1 + 3x_2 -4x_3+5x_4 = 9 \)

\( 2x_1 + 4x_2 + x_3-3x_4 =10\)

\( 3x_1 +5x_2 +6x_3-11x_4 = 4 \)

21.

Számoljuk ki az $A$ mátrix rangját, keressük meg az oszlop-vektorterének egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az $A$ mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 & 2 & 10 \\ 3 & 9 & 1 & -4 & 1 \\ 1 & 3 & -9 & 8 & 19 \end{pmatrix} \)

22.

Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek.

Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

\( x_1 -3x_2 - 14x_3 = -17 \)

\( 2x_1 - 6x_2 - 28x_3 + p \cdot x_4 = q-34 \)

\( 3x_1 -7x_2 -36x_3 +4p \cdot x_4 = 4q -37 \)