Regisztráció

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

$ x_1 + 2x_2 + x_3= 8 $

$ 2x_1+x_2-x_3=1 $

$ 2x_1-x_2+x_3=3 $

Az $ \alpha $, $ \beta $ és $ \gamma$ paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)

$ x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta $

$ x_2+2x_3+x_4=1 $

$ 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 $

$ 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha $

$ x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta $

$ x_2+2x_3+x_4=1 $

$ 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 $

$ 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha $

Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a

$ \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $

$ \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a

$ \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $

$ \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

$ \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} $

$ \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} $

$ \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} $

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

$ \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} $

$ \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} $

$ \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} $

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.

$ A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.

$ A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

10.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.

$ A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} $

11.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.

$ A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} $

12.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.

$ x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 $

$ x_1-x_3+x_4=2 $

$ 2x_2+x_4=8 $

$ x_1+x_4=5 $

13.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.

$ x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 $

$ x_1-x_3+x_4=2 $

$ 2x_2+x_4=8 $

$ x_1+x_4=5 $

14.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.

$ x_1 + x_2 + x_3 = 3 $

$ 2x_1+x_2=2 $

$ 3x_1+2x_2+x_3=5 $

$ x_1 + x_2 + x_3 = 3 $

$ 2x_1+x_2=2 $

$ 3x_1+2x_2+x_3=6 $

15.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.

$ x_1 + x_2 + x_3 = 3 $

$ 2x_1+x_2=2 $

$ 3x_1+2x_2+x_3=5 $

$ x_1 + x_2 + x_3 = 3 $

$ 2x_1+x_2=2 $

$ 3x_1+2x_2+x_3=6 $

16.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.

$ 2x_1 - x_4 = 4 $

$ 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 $

$ 8x_1-2x_2+6x_3=6 $

$ 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 $

17.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.

$ 2x_1 - x_4 = 4 $

$ 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 $

$ 8x_1-2x_2+6x_3=6 $

$ 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 $

18.

Az $ \alpha $ és $ \beta $ paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.

$ x_1 + x_2 + x_3 = 4 $

$ 2x_1+x_2+x_3=5 $

$ x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta $

19.

Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval az alábbi egyenletrendszereket.

$ 2x_1 + 6x_2 -4x_3 = 4 $

$ 3x_1 + 2x_2 + 8x_3 =27 $

$ 4x_1 +x_2 -3x_3 = 7 $

$ 2x_1 + 4x_2 -6x_3-2x_4 = 4 $

$ 3x_1 + x_2 + 6x_3+2x_4 =16 $

$ x_1 +7x_2 -18x_3-6x_4 = -8 $

$ x_1 + 3x_2 -4x_3+5x_4 = 9 $

$ 2x_1 + 4x_2 + x_3-3x_4 =10$

$ 3x_1 +5x_2 +6x_3-11x_4 = 4 $

20.

Itt van ez a mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.

$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 8 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

21.

Számoljuk ki az $A$ mátrix rangját, keressük meg az oszlop-vektorterének egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az $A$ mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.

$ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 & 2 & 10 \\ 3 & 9 & 1 & -4 & 1 \\ 1 & 3 & -9 & 8 & 19 \end{pmatrix} $

22.

Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek.

Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

$ x_1 -3x_2 - 14x_3 = -17 $

$ 2x_1 - 6x_2 - 28x_3 + p \cdot x_4 = q-34 $

$ 3x_1 -7x_2 -36x_3 +4p \cdot x_4 = 4q -37 $

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!