Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)
\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)
\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)
Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.
Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)
\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)
Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval az alábbi egyenletrendszereket.
a)
\( 2x_1 + 6x_2 -4x_3 = 4 \)
\( 3x_1 + 2x_2 + 8x_3 =27 \)
\( 4x_1 +x_2 -3x_3 = 7 \)
b)
\( 2x_1 + 4x_2 -6x_3-2x_4 = 4 \)
\( 3x_1 + x_2 + 6x_3+2x_4 =16 \)
\( x_1 +7x_2 -18x_3-6x_4 = -8 \)
c)
\( x_1 + 3x_2 -4x_3+5x_4 = 9 \)
\( 2x_1 + 4x_2 + x_3-3x_4 =10\)
\( 3x_1 +5x_2 +6x_3-11x_4 = 4 \)
Itt van ez a mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 8 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek.
Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
\( x_1 -3x_2 - 14x_3 = -17 \)
\( 2x_1 - 6x_2 - 28x_3 + p \cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1 -7x_2 -36x_3 +4p \cdot x_4 = 4q -37 \)