Deriválás (emelt szint)

1.

a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)

c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)

e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)

f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)

c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^x \)

b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^100+x^7+7^x+\sqrt{42} \)

b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)

c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)

d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[7]{x^3 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \lg{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[4]{x^3 + \sqrt[7]{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= e^x + e\cdot x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mi az a deriválás? Már mutatjuk is, hogyan kell deriválni szuper-érthető példákon keresztül. Differencia hányados, Differenciál hányados, Az érintő meredeksége, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Deriválás feladatok, Deriválás táblázat, Nevezetes függvények deriváltjai, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal, Derivált táblázat, Derivált függvény, Deriválási feladatok, Deriválási képletek, Differenciálszámítás, Differenciálszámítás feladatok.



Tanulj meg deriválni 10 perc alatt

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


A láncszabály

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Az x^x függvény deriváltja (ez már nagyon emelt szint)

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás